11 | 08 | 2022

Тензор энергии-импульса

Было получено общее правило для вычисления тензора энергии-импульса любой физической системы, действие которой представлено в виде интеграла (32.1) по 4-пространству. В криволинейных координатах этот интеграл должен быть написан в виде

S ΛdΩ                  (94.1)

(в галилеевых координатах g=−1 и S переходит в   ΛdVdt). Интегрирование производится по всему (трехмерному) пространству и по времени между двумя заданными моментами, т. е. по бесконечной области 4-пространства, заключенной между двумя гиперповерхностями.

Как уже было указано ранее, тензор энергии-импульса, определенный по формуле (32.5), не является, вообще говоря, симметричным, каким он должен быть. Для того чтобы сделать его симметричным, необходимо было прибавить к выражению (32.5) надлежащим образом подобранный член вида ψikl, причем ψikl=−ψilk.

Мы дадим теперь другой способ вычисления тензора энергии-импульса, обладающий тем преимуществом, что он сразу приводит к симметричному выражению.

Произведем в (94.1) преобразование от координат хi к координатам х'i=хi+ξi где ξi — малые величины. При этом преобразовании компоненты gik преобразуются, согласно формулам

g'ik(x'l) = glm(xl = gml + + gik(xl) + gim + gkl .

Тензор g'ik является здесь функцией от x'l, а тензор gik — функцией прежних координат xl. Для того чтобы представить все члены в виде функций от одних и тех же переменных, разложим g'ik(xl+ξl) по степеням ξl. Далее, пренебрегая членами высшего порядка по ξl, мы можем в членах, содержащих ξl, написать gik вместо g'ik. Таким образом, находим

g'ik(xl =gik(xl) − ξl + gil + gkl .

Легко убедиться путем непосредственной проверки, что последние три члена справа могут быть написаны в виде суммы ξi;k+ξk;i контравариантных производных от ξi. Таким образом, находим окончательно преобразование gik в виде

g'ik = gikδgik,  δgikξi;k + ξk;i.                 (94.2)

Для ковариантных компонент имеем при этом:

g'ik = gikδgik,  δgik = −ξi;k − ξk;i                (94.3)

(так, чтобы с точностью до величин первого порядка малости соблюдалось условие g'ilg'kl=).

Поскольку действие S есть скаляр, то при преобразовании координат оно не меняется. С другой стороны, изменение δS действия при преобразовании координат можно написать в следующем виде. Пусть q обозначают величины, определяющие ту физическую систему, к которой относится действие S. При преобразовании координат величины q меняются δq При вычислении δS можно, однако, не писать членов, связанных с изменениями q. Все эти члены все равно взаимно сокращаются в силу «уравнений движения» физической системы, поскольку эти уравнения как раз и получаются путем приравнивания нулю вариации S по величинам q. Поэтому достаточно писать только члены, связанные с изменением gik. Воспользовавшись, как обычно, теоремой Гаусса и полагая на границах интегрирования δgik=0, находим δS в виде

δS  δgik +  δ dΩ =   −   δgik dΩ

Введем теперь обозначение

  Tik −  ;                                       (94.4)

тогда δS примет вид

δS =  Тikδgik dΩ = − Тikδgik dΩ             (94.5)

(замечаем, что gikδgik=−glkδgik и потому Тikδgik=−Тikδgik). Подставляя сюда для δgik выражение (94.2), имеем, воспользовавшись симметрией тензора Тik:

δS =  Тik (ξi;k + ξk;i) dΩ = Тik ξi;k dΩ.