11 | 08 | 2022

Действие для гравитационного поля

Опуская полные производные, находим

G = (gik) − (gik) − ()gik.

С помощью формул (86.5)-(86.8) находим, что первые два члена справа равны  помноженному на

2gmk − gklgik = gik(2 − ) = 2gik().

Окончательно имеем

G = gik().                      (93.3)

Величинами, определяющими гравитационное поле, являются компоненты метрического тензора. Поэтому в принципе наименьшего действия для гравитационного поля варьированию подлежат именно величины gik. Здесь необходимо, однако, сделать следующую существенную оговорку. Именно, мы не можем теперь утверждать, что в реально осуществляющемся поле интеграл действия имеет минимум (а не просто экстремум) по отношению ко всем возможным вариациям gik. Это связано с тем, что не всякое изменение gik соответствует изменению метрики пространства-времени, т.е. реальному изменению гравитационного поля. Компоненты gik меняются уже и при простом преобразовании координат, связанном лишь с переходом от одной системы к другой в одном и том же пространстве-времени. Каждое такое преобразование координат представляет собой, вообще говоря, совокупность четырех (по числу координат) независимых преобразований. Для того чтобы исключить такие не связанные с изменением метрики изменения gik, можно наложить на них четыре дополнительных условия и потребовать выполнения этих условий при варьировании. Таким образом, в применении к гравитационному полю принцип наименьшего действия утверждает лишь, что можно наложить на gik такие дополнительные условия, при соблюдении которых действие имеет минимум по отношению к варьированию gik.

Имея в виду эти замечания, покажем теперь, что гравитационная постоянная должна быть положительной. В качестве указанных четырех дополнительных условий потребуем обращения в нуль трех компонент g0α и постоянства определителя |gαβ|, составленного из компонент gαβ:

g0α = 0,  |gαβ| = const;

в силу последнего из этих условий будем иметь

gαβ = |gαβ| =0.

Нас интересуют здесь те члены в подынтегральном выражении в действии, которые содержат производные от gik по x0. Простое вычисление с помощью (93.3) показывает, что такими членами в G являются

g00 gαβ gγδ .

Легко видеть, что эта величина существенно-отрицательна. Действительно, выбирая пространственную систему координат, которая была бы декартовой в данной точке пространства в данный момент времени (так что gαβ=gαβ=−δαβ), получим

g00 ,

и поскольку g00=1/g00 > 0, то знак этой величины очевиден.

Достаточно быстрым изменением компонент gαβ со временем x0 (в промежутке между двумя пределами интегрирования по dx0) можно, следовательно, сделать величину −G сколь угодно большой. Если бы постоянная k была отрицательной, то действие при этом неограниченно уменьшалось бы (принимая сколь угодно большие по абсолютной величине отрицательные значения), т. е. не могло бы иметь минимума.