11 | 08 | 2022

Действие для гравитационного поля

Для нахождения уравнений, определяющих гравитационное поле, необходимо предварительно определить действие Sg этого поля. Искомые уравнения получаются тогда путем варьирования суммы действий поля и материальных частиц.

Действие Sg, как и действие для электромагнитного поля, должно быть выражено в виде некоторого скалярного интеграла ∫GdΩ, взятого по всему пространству и по временной координате x0 между двумя заданными ее значениями. При этом мы будем исходить из того, что уравнения гравитационного поля должны содержать производные от «потенциалов» поля не выше второго порядка (подобно тому, как это имеет место для уравнений электромагнитного поля). Поскольку уравнения поля получаются путем варьирования действия, то для этого необходимо, чтобы подынтегральное выражение G содержало производные от gik не выше первого порядка; таким образом, G должно содержать только тензор gik и величины .

Однако из одних только величин gik и  невозможно построить скаляр. Это видно уже из того, что посредством соответствующего выбора системы координат можно всегда обратить все величины  в данной точке в нуль. Существует, однако, скаляр R — кривизна 4-пространства, — который хотя и содержит наряду с тензором gik и его первыми производными еще и вторые производные от gik, но последние входят только линейно. Благодаря этой линейности инвариантный интеграл RdΩ, можно преобразовать с помощью теоремы Гаусса в интеграл от выражения, не содержащего вторых производных, т. е. его можно представить в виде

RdΩ = GdΩ dΩ,

где G содержит только тензор gik и его первые производные, а подынтегральное выражение во втором интеграле имеет вид дивергенции некоторой величины ωi (подробное вычисление произведено в конце настоящего параграфа). Согласно теореме Гаусса, этот второй интеграл можно преобразовать в интеграл по гиперповерхности, охватывающей 4-объем, по которому производится интегрирование в двух других интегралах. При варьировании действия вариация второго члена справа, следовательно, исчезает, так как по смыслу принципа наименьшего действия на границах области интегрирования вариация поля равна нулю. Следовательно, мы можем написать

δRdΩ = δGdΩ.

Слева стоит скаляр; поэтому скаляром является и стоящее справа выражение (сама же величина G скаляром не является).

Величина G удовлетворяет поставленному выше требованию, так как содержит только gik и его первые производные. Таким образом, мы можем написать

δSg = −  δGdΩ−  δRdΩ,              (93.1)

где k — новая универсальная постоянная. Аналогично тому, как это было сделано ранее для действия электромагнитного поля, можно видеть, что постоянная k должна быть положительна.

Постоянная k называется гравитационной постоянной. Размерность k следует непосредственно из (93.1). Действие имеет размерность г·см2·с−1; все координаты можно считать имеющими размерность см, а gik — безразмерными, и, следовательно, R имеет размерность см−2. В результате находим, что k имеет размерность см3·г−1·с−2. Ее числовое значение равно

k = 6,67 · 10−8 см3 · г−1 · с−2.        (93.2)

Заметим, что мы могли бы положить k равной единице (или другому произвольному безразмерному числу). При этом, однако, определился бы выбор единицы для измерения массы.

Вычислим, наконец, величину G в (93.1). Из выражения (92.7) для Rik имеем

RgikRik gik − gikgikgik.

В первых двух членах справа имеем

gik = (gik) − (gik),

gik(gik) − (gik).