27 | 05 | 2022

Свойства тензора кривизны

I. Имеются три независимых собственных вектора. При этом их квадраты nαnα отличны от нуля и соответствующим поворотом тензор Dαβ, а с ним и Аαβ, Вαβ приводятся к диагональному виду

Аαβ = ,   

Bαβ.            (92.19)

В этом случае тензор кривизны имеет 4 независимых инварианта.

Комплексные инварианты λ(1), λ(2) выражаются алгебраически через комплексные скаляры:

I1 = (RiklmRiklmiRiklmiklm),

I2 = (RiklmRlmprRprik + iRiklmRlmprprik).        (92.20)

где точка над буквой означает дуальный тензор:

iklm = EikprRprlm.

Вычислив I1, I2 с помощью (92.19), получим

I1 = (λ(1)2 + λ(2)2 + λ(1)λ(2)),  I2 =  λ(1)λ(2)(λ(1) + λ(2)).   (92.21)

Эти формулы позволяют вычислить λ(1), λ(2), исходя из значений Riklm в любой системе отсчета.

II. Имеются два независимых собственных вектора. Квадрат одного из них при этом равен нулю, в связи с чем он не может быть принят за направление координатной оси. Можно, однако, принять его лежащим в плоскости x1x2; тогда n2=in1, n3=0. Соответствующие уравнения (92.18) дают

D11 + iD12 = λD22 − iD12 = λ,

откуда

D11 = λ − ,  D22 = λ + D12 = μ.

Комплексная величина λ=λ'+iλ" является скаляром и не может быть изменена. Величине же μ путем различных комплексных поворотов может быть придано любое (отличное от нуля) значение; можно поэтому без ограничения общности считать ее вещественной. В результате получим следующий канонический тип вещественных тензоров Аαβ, Bαβ:

Аαβ =

Bαβ = .            (92.22)

В этом случае имеется всего два инварианта λ' и λ". При этом согласно (92.21) I1=λ2, I2=λ3, так что I13=I22.

III. Имеется всего один собственный вектор с равным нулю квадратом. Все собственные значения λ при этом одинаковы, а потому равны нулю. Решения уравнения (92.18) могут быть приведены к виду D11=D22=D12=0, D13=μ, D23=, так что

Аαβ = Bαβ = .    (92.23)

В этом случае тензор кривизны вовсе не имеет инвариантов, и мы имеем дело со своеобразной ситуацией: 4-пространство искривлено, но не существует инвариантов, которые могли бы являться мерой его кривизны.