27 | 05 | 2022

Свойства тензора кривизны

Перейдем к тензору кривизны трехмерного пространства; обозначим его через Pαβγδ, а метрический тензор через γαβ, где индексы α, β, ...пробегают значения 1, 2, 3. Пары индексов αβ и γδ пробегают всего три существенно различных набора значений: 23, 31, 12 (перестановка индексов в паре меняет лишь знак компоненты тензора). Поскольку тензор Pαβγδ симметричен по отношению к перестановке этих пар, то имеется всего 3·2/2=3 независимых компоненты с различными парами индексов, а также 3 компоненты с одинаковыми парами. Тождество (92.4) не прибавляет ничего нового к этим ограничениям. Таким образом, в трехмерном пространстве тензор кривизны имеет шесть независимых компонент. Столько же компонент имеет симметричный тензор Pαβ. Поэтому из линейных соотношений Pαβ=gγδPγαδβ все компоненты тензора Pαβγδ могут быть выражены через Pαβ и метрический тензор γαβ. Если выбрать систему координат, декартову в данной точке, то надлежащим ее поворотом можно привести тензор Pαβ к главным осям. Таким образом, кривизна трехмерного пространства в каждой точке определяется тремя величинами.

Наконец, перейдем к четырехмерному пространству. Пары индексов ik и lm пробегают в этом случае 6 различных наборов значений: 01, 02, 03, 23, 31, 12. Поэтому имеется 6 компонент Riklm с одинаковыми и 6·5/2=15 компонент с различными парами индексов. Последние, однако, еще не все независимы друг от друга: три компоненты, у которых все четыре индекса различны, связаны в силу (92.4) одним тождеством:

R0123 + R0312 + R0231 = 0.                    (92.13)

Таким образом, в 4-пространстве тензор кривизны имеет всего 20 независимых компонент.

Выбирая систему координат, галилееву в данной точке, и рассматривая преобразования, поворачивающие эту систему (так что значения gik в данной точке не меняются), можно добиться обращения в нуль шести компонент тензора кривизны (шесть есть число независимых поворотов 4-системы координат). Таким образом, в общем случае кривизна 4-пространства определяется в каждой точке 14 величинами.

Если Rik=0, то в произвольной системе координат тензор кривизны имеет всего 10 независимых компонент. Надлежащим преобразованием координат можно тогда привести тензор Riklm (в заданной точке 4-пространства) к «каноническому» виду, в котором его компоненты выражаются в общем случае через 4 независимые величины; в особых случаях это число может оказаться даже меньшим.

Если же Rik≠0, то все то же самое будет относиться к тензору кривизны после выделения из него определенной части, выражающейся через компоненты Rik. Именно, составим тензор

Ciklm = Riklm + Rilgkm + Rimgkl + Rklgim − Rkmgil + R(gilgkm − gimgkl).       (92.14)

Легко видеть, что этот тензор обладает всеми свойствами симметрии тензора Riklm, a при свертывании по паре индексов (il или km) дает нуль.

Покажем, каким образом строится классификация возможных типов канонической формы тензора кривизны при Rik=0.

Будем считать, что метрика в данной точке 4-пространства приведена к галилеевому виду. Совокупность 20 независимых компонент тензор Riklm представим как совокупность трех трехмерных тензоров, определенных следующим образом:

Aαβ = B0α0βCαβeαγδeβλµRγδλµ,  Bαβ = eαγδR0βγδ                 (92.15)

(eαβγ — единичный антисимметричный тензор; поскольку трехмерная метрика декартова, нет необходимости делать при суммировании различие между верхними и нижними индексами). Тензоры Аαβ и Сαβ по определению симметричны; тензор Вαβ, вообще говоря, несимметричен, а его след равен нулю в силу (92.13). Согласно определениям (92.15) имеем, например:

В11 = R0123B21 = R0131В31 = R0112С11 = R2323, ...

Легко видеть, что условия Rkm=gilRiklm=0 эквивалентны следующим соотношениям между компонентами тензоров (92.15):

Aαα = 0,  Вαβ = ВβαАαβ = −Сαβ.                                        (92.16)

Далее введем симметричный комплексный тензор

Dαβ = (Аαβ + 2iBαβCαβ) = Аαβ + iBαβ.                         (92.17)

Такое объединение двух вещественных трехмерных тензоров Аαβ и Bαβ в один комплексный тензор как раз соответствует объединению двух векторов Е и Н в комплексный вектор F, а возникающая в результате связь между Dαβ и 4-тензором Riklm соответствует связи между F и 4-тензором Fik. Отсюда следует, что четырехмерные преобразования тензора Riklm эквивалентны трехмерным комплексным поворотам, производимым над тензором Dαβ.

По отношению к этим поворотам могут быть определены собственные значения λ=λ'+iλ'' и собственные векторы nα (вообще говоря, комплексные) как решения системы уравнений

Dαβnβ = λnα.                     (92.18)

Величины λ являются инвариантами тензора кривизны. Поскольку след Dαα=0, то равна нулю также и сумма корней уравнения (92.18):

λ(1) + λ(2) + λ(3) = 0.

В зависимости от числа независимых собственных векторов nα мы приходим к следующей классификации возможных случаев приведения тензора кривизны, —к каноническим типам Петрова I—III.