27 | 05 | 2022

Свойства тензора кривизны

Тензор кривизны обладает свойствами симметрии, для полного выявления которых следует перейти от смешанных компонент Riklm к ковариантным:

Riklm = ginRnklm.

Простыми преобразованиями легко получить для них следующее выражение:

Riklm =   +  −  −  + gnp().   (92.1)

Из этого выражения очевидны следующие свойства симметрии:

Riklm = −Rkilm = −Rikml,                                (92.2)

Riklm = Rlmik,                                                 (92.3)

т. е. тензор антисимметричен по каждой из пар индексов ik и lm и симметричен по отношению к перестановке этих двух пар друг с другом. В частности, все компоненты Riklm i диагональные по паре индексов ik или lm, равны нулю.

Далее легко проверить, что равна нулю циклическая сумма из компонент Riklm образованная по любым трем из их индексов, например:

Riklm + Rimkl + Rilmk = 0.                              (92.4)

(остальные соотношения такого рода получаются из (92.4) автоматически в силу свойств (92.2), (92.3)).

Наконец, докажем следующее тождество Бианки:

Rnikl;m + Rnimk;l + Rnilm;k = 0.                      (92.5)

Его удобно проверить, воспользовавшись локально-геодезической системой координат. В силу тензорного характера соотношение (92.5) будет тем самым справедливым и в любой другой системе. Дифференцируя выражение (91.4) и полагая затем в нем =0, находим в рассматриваемой точке

Rnikl;m = .

С помощью этого выражения легко убедиться в том, что (92.5) действительно имеет место.

Из тензора кривизны можно путем упрощения построить тензор второго ранга. Такое упрощение можно произвести только одним способом: упрощение тензора Riklm по индексам i и k или l и m дает нуль в силу антисимметричности по ним, а упрощение по любым другим парам дает, с точностью до знака, одинаковый результат. Мы определим тензор Rik (его называют тензором Риччи) как

Rik = glmRlimk = Rlilk.                                    (92.6)

Согласно (91.4) имеем

Rik − .       (92.7)

Этот тензор, очевидно, симметричен:

Rik = Rki.                                                        (92.8)

Наконец, упрощая Rik, получим инвариант

R = gikRik = gilgkmRiklm,                                (92.9)

называемый скалярной кривизной пространства.

Компоненты тензора Rik удовлетворяют дифференциальному тождеству, получающемуся упрощением тождества Бианки (92.5) по парам индексов ik и ln:

Rlm;l .                                            (92.10)

В силу соотношений (92.2)-(92.4) не все компоненты тензора кривизны независимы. Определим число независимых компонент.

Определение тензора кривизны, даваемое написанными выше формулами, относится к пространству любого числа измерений. Рассмотрим сначала случай пространства двух измерений, т. е. обычную поверхность; обозначим в этом случае (в отличие от четырехмерных величин) тензор кривизны через Pabcd, а метрический тензор — через  γab, где индексы a, b,... пробегают значения 1, 2. Поскольку в каждой из пар ab и cd два индекса должны иметь различные значения, то очевидно, что все отличные от нуля компоненты тензора кривизны либо совпадают друг с другом, либо отличаются знаком. Таким образом, в этом случае имеется лишь одна независимая компонента, например P1212. Легко найти, что скалярная кривизна при этом равна

P,  γ ≡ |γαβ| = γ11γ22 − (γ12)2.          (92.11)

Величина Р/2 совпадает с так называемой гауссовой кривизной поверхности K:

 = K = ,                                             (92.12)

где ρ1, ρ2 — главные радиусы кривизны поверхности в данной ее точке (напомним, что ρ1 и ρ2 считаются имеющими одинаковые знаки, если соответствующие им центры кривизны расположены по одну сторону от поверхности, и имеющими разные знаки, если центры кривизны лежат по разные стороны от поверхности; в первом случае K>0, а во втором K<0).