27 | 05 | 2022

Тензор кривизны

Тензорный характер Riklm виден из того, что в (91.3) слева стоит вектор — разность ΔAk значений вектора в одной и той же точке. Тензор Riklm называется тензором кривизны, или тензором Римана.

Легко получить аналогичную формулу для контравариантного вектора Ak. Для этого заметим, что поскольку при параллельном переносе скаляры не меняются, то Δ(AkBk)=0, где Bkлюбой ковариантный вектор. С помощью (91.3) имеем отсюда:

Δ(AkBk) = AkΔBk + BkΔAk = AkBiRiklmΔƒlmBkΔAk = BkAk + AiRkilmΔƒlm) = 0,

или, ввиду произвольности вектора Bk:

ΔAk = − RkilmAiΔƒlm.                              (91.5)

Если дважды ковариантно продифференцировать вектор Ai по xk и по xl, то результат зависит, вообще говоря, от порядка дифференцирования, в противоположность тому, что имеет место для обычных производных. Оказывается, что разность Ai;k;lAi;l;k определяется тем же тензором кривизны, который мы ввели выше. Именно, имеет место формула

Ai;k;l Ai;l;k = AmRmikl,                            (91.6)

которую легко проверить непосредственным вычислением в локально-геодезической системе координат. Аналогично, для контравариантного вектора

Ai;k;l Ai;l;k = −AmRimkl.                          (91.7)

Наконец, легко получить аналогичные формулы для вторых производных от тензоров (это проще всего сделать, рассматривая, например, тензор вида AiBk и пользуясь при этом формулами (91.6), (91.7); полученные таким образом формулы в силу их линейности имеют место для любого тензора Aik). Так,

Aik;l;m − Aik;m;l = AinRnklm + AnkRnilm.   (91.8)

Очевидно, что в плоском 4-пространстве тензор кривизны равен нулю. Действительно, в плоском пространстве можно выбрать координаты, в которых везде все =0, а потому и Riklm=0. В силу тензорного характера Riklm эти величины равны тогда нулю и в любой другой системе координат. Это соответствует тому, что в плоском пространстве параллельный перенос вектора из одной точки в другую есть однозначная операция, а при обходе замкнутого контура вектор не меняется.

Имеет место и обратная теорема: если Riklm=0, то 4-пространство плоское. Действительно, во всяком пространстве можно выбрать систему координат, галилееву в данном бесконечно малом участке. При Riklm=0 параллельный перенос есть однозначная операция, и, перенося таким образом галилееву систему из данного малого участка во все остальные, можно построить галилееву систему во всем пространстве, чем и доказывается сделанное утверждение.

Таким образом, равенство или неравенство нулю тензора кривизны является критерием, позволяющим определить, является ли 4-пространство плоским или искривленным.

Заметим, что хотя в кривом пространстве и можно выбрать локально-геодезическую (для данной точки) систему координат, но при этом тензор кривизны в этой точке не обращается в нуль (так как производные от  не обращаются в нуль вместе с самими ).