27 | 05 | 2022

Тензор кривизны

Вернемся снова к понятию о параллельном переносе вектора. Как было указано ранее, в общем случае кривого 4-пространства бесконечно малый параллельный перенос вектора определяется как перенос, при котором компоненты вектора не меняются в системе координат, галилеевой в данном бесконечно малом элементе объема.

Если xi=xi(s) есть параметрическое уравнение некоторой кривой (s — длина дуги, отсчитываемая от некоторой точки), то вектор ui=dxi/ds есть единичный вектор, касательный к кривой. Если рассматриваемая кривая является геодезической, то вдоль нее Dui=0. Это значит, что если вектор ui подвергнуть параллельному переносу из точки xi на геодезической линии в точку xi+dxi на той же линии, то он совпадает с вектором ui+dui, касательным к линии в точке xi+dxi. Таким образом, при передвижении вдоль геодезической линии вектор касательной переносится параллельно самому себе.

С другой стороны, при параллельном переносе двух векторов «угол» между ними остается, очевидно, неизменным. Поэтому мы можем сказать, что при параллельном переносе любого вектора вдоль какой-либо геодезической линии угол между этим вектором и касательной к линии остается неизменным. Другими словами, при параллельном переносе вектора его составляющие по геодезическим линиям во всех точках пути должны быть неизменными.

Весьма существенно, что в кривом пространстве параллельный перенос вектора из одной заданной точки в другую дает разные результаты, если он совершается по разным путям. В частности, отсюда следует, что если переносить вектор параллельно самому себе по некоторому замкнутому контуру, то он, возвратившись в первоначальную точку, не совпадет с самим собой.

Для того чтобы уяснить это, рассмотрим двухмерное искривленное пространство, т. е. какую-нибудь кривую поверхность. На рис. 19 изображен фрагмент такой поверхности, ограниченный тремя геодезическими линиями. Подвергнем вектор 1 параллельному переносу вдоль контура, образованного этими линиями. При передвижении вдоль линии АВ вектор 1, сохраняя все время одинаковый угол с этой линией, перейдет в вектор 2. При передвижении вдоль ВС он таким же образом перейдет в 3. Наконец, при движении из С в А вдоль кривой СА, сохраняя постоянный угол с этой кривой, рассматриваемый вектор перейдет в 1', не совпадающий с вектором 1.


Рис. 19

Выведем общую формулу, определяющую изменение вектора при параллельном переносе вдоль бесконечно малого замкнутого контура. Это изменение ΔAk можно записать в виде ∮δAk, где интеграл берется по данному контуру. Подставляя вместо δAk выражение (85.5), имеем

ΔAk = Aidxl;                                 (91.1)

стоящий под интегралом вектор Ai меняется по мере его переноса вдоль контура.

Для дальнейшего преобразования этого интеграла необходимо заметить следующее. Значения вектора Ai в точках внутри контура неоднозначны — они зависят от пути, по которому мы приходим в данную точку. Мы увидим, однако, из получаемого ниже результата, что эта неоднозначность — второго порядка малости. Поэтому с достаточной для преобразования точностью до величин первого порядка можно считать компоненты вектора Ai в точках внутри бесконечно малого контура однозначно определяющимися их значениями на самом контуре по формулам δAi=Andxl, т.е. по производным

An.                                        (91.2)

Применяя теперь к интегралу (91.1) теорему Стокса (6.19) и учитывая, что площадь огибаемой рассматриваемым контуром поверхности есть бесконечно малая величина Δƒlm, получим

ΔAk =   − Δƒlm =  Ai Ai + Δƒlm.

Подставляя сюда значения производных из (91.2), находим окончательно

ΔAk =  RiklmAiΔƒlm,                                 (91.3)

где Riklm — тензор 4-го ранга:

Riklm = .   (91.4)