28 | 11 | 2020

Тензор энергии-импульса макроскопических тел

Наряду с тензором энергии-импульса системы точечных частиц (33.5) нам понадобится в дальнейшем выражение этого тензора для макроскопических тел, рассматриваемых как сплошные.

Общая характеристика рыночной экономики

Поток импульса через элемент поверхности тела есть не что иное, как действующая на этот элемент сила. Поэтому −σαβdfβ есть α-я компонента силы, действующей на элемент поверхности df. Воспользуемся теперь системой отсчета, в которой данный элемент объема тела покоится. В такой системе отсчета имеет место закон Паскаля, т.е. давление p, оказываемое данным участком тела, одинаково по всем направлениям и везде перпендикулярно к площадке, на которую оно производится. Поэтому мы можем написать σαβdfβ=−pdfα, откуда тензор напряжений σαβ=−αβ. Что касается компонент Tα0, дающих плотность импульса, то для данного элемента объема тела в рассматриваемой системе отсчета они равны нулю. Компонента же Т00, как всегда, равна плотности энергии тела, которую мы обозначим здесь через ε; ε/с2 есть при этом плотность массы, т. е. масса единицы объема. Подчеркнем, что речь идет здесь о единице собственного объема, т. е. объема в той системе отсчета, в которой данный участок тела покоится.

Таким образом, в рассматриваемой системе отсчета тензор энергии-импульса (для данного участка тела) имеет вид

Tik = .                          (35.1)

Легко найти теперь выражение для тензора энергии-импульса в любой системе отсчета. Для этого введем 4-скорость ui макроскопического движения элемента объема тела. В системе покоя этого элемента ui=(1,0). Выражение для Tik должно быть выбрано так, чтобы в этой системе он приобретал вид (35.1). Легко проверить, что таковым является

Tik = (p + ε)uiukpgik,                           (35.2)

или для смешанных компонент

Tik(p + ε)uiukik.