27 | 05 | 2022

Функция Лагранжа с точностью до членов второго порядка

Отсюда уже не представляет труда найти функцию Лагранжа для всей системы. Легко сообразить, что эта функция равна не сумме La для всех зарядов, а имеет вид

L = +   − +

+ [vavb + (vanab)(vbnab)].                  (65.7)

Действительно, для каждого из зарядов при заданном движении всех остальных эта функция L переходит в приведенную выше La. Выражение (65.7) есть искомая функция Лагранжа системы зарядов с точностью до членов второго порядка.

Наконец, определим еще функцию Гамильтона системы зарядов в том же приближении. Это можно было бы сделать по общим правилам нахождения  по L; однако проще поступить следующим образом. Второй и четвертый члены в (65.7) представляют собой малую поправку к L(0) (65.1). С другой стороны, из механики известно, что при небольшом изменении L и малые добавки к ним равны по величине и противоположны по знаку (причем изменение L рассматривается при заданных координатах и скоростях, а изменение  — при заданных координатах и импульсах).

Поэтому мы можем сразу написать , вычтя из

(0) +

те же второй и четвертый члены из (65.7), предварительно заменив в них скорости на импульсы с помощью соотношений первого приближения va=ра/mа. Таким образом,

= +

[papb + (panab)(pbnab)].        (65.8)