27 | 05 | 2022

Функция Лагранжа с точностью до членов второго порядка

Для вычисления А' заметим, что  = R. Операция означает здесь дифференцирование по координатам точки наблюдения, в которой ищется значение А'. Поэтому градиент R равен единичному вектору n, направленному от заряда e к точке наблюдения, так что

А' = + .

Далее пишем:

= .

Но производная —  при заданной точке наблюдения есть скорость v заряда, а производную  легко определить, дифференцируя тождество R2=R2, т.е. написав

RR = −Rv.

Таким образом,

=

Подставляя это в выражение для А', находим окончательно:

φ' = ,  А' = .                    (65.6)

Если поле создается не одним, а несколькими зарядами, то надо, очевидно, просуммировать эти выражения по всем зарядам.

Подставляя их затем в (65.2), найдем функцию Лагранжа La заряда еа (при заданном движении всех остальных зарядов). При этом нужно первый член в (65.2) тоже разложить по степеням υa/c, оставляя члены до второго порядка. Таким образом, мы находим

La +   − ea  +

+   [vavb + (vanab)(vbnab)]

(суммирование производится по всем зарядам, за исключением eanab — единичный вектор в направлении между eb и ea).