27 | 05 | 2022

Функция Лагранжа с точностью до членов второго порядка

Будем исходить из выражений для запаздывающих потенциалов:

φ = dV,  A = dV.

Если скорости всех зарядов малы по сравнению со скоростью света, то распределение зарядов не успевает сильно измениться за время R/c. Поэтому мы можем разложить ρt−R/c и jt−R/c в ряд по степеням R/c. Для скалярного потенциала находим, таким образом, с точностью до членов второго порядка:

φ =    ρ dV RρdV

(ρ без индексов есть ρ в момент времени t; знаки дифференцирования но времени могут, очевидно, быть вынесены из-под знака интеграла). Но ρdV есть постоянный полный заряд системы. Поэтому второй член в полученном выражении равен нулю, так что

φ =   + RρdV.                (65.3)

Аналогично можно поступить с А. Но выражение для векторного потенциала через плотность тока содержит уже само по себе 1/c, а при подстановке в функцию Лагранжа умножается еще раз на 1/c. Поскольку мы ищем функцию Лагранжа только с точностью до членов второго порядка, то в разложении А достаточно ограничиться только первым членом, т. е.

A  dV                                         (65.4)

(мы подставили jρv).

Предположим сначала, что поле создается всего одним точечным зарядом e. Тогда имеем из (65.3), (65.4):

φ ,  A = ,                    (65.5)

где R — расстояние от заряда.

Выберем вместо φ и А другие потенциалы φ' и А', т.е. произведем калибровочное преобразование:

φ' = φ −  А' = А + grad f,

причем в качестве f выберем функцию

f =  .

Тогда мы получим

φ' = ,  А' = +   .