27 | 05 | 2022

Рассеяние волн с большими частотами

Для длины волны падающего излучения из условия (80.1) следует неравенство λас/υ. Что же касается относительной величины λ и а, то возможны оба предельных случая λа и λа. В обоих этих случаях общая формула (80.6) значительно упрощается.

При λа в выражении (80.6) 1, поскольку q~1/λ, r~а. Заменяя соответственно этому eiqr единицей, имеем

= Z2 sin2θ do,                                                   (80.7)

т. е. рассеяние пропорционально квадрату числа Z электронов в атоме.

Перейдем к случаю λа. В квадрате суммы в (80.6) наряду с равными единице квадратами модуля каждого из членов имеются произведения вида eiq(r1r2). При усреднении по движению зарядов, т. е. по их взаимным расположениям в системе, разности r1г2 пробегают значения в интервале порядка а. Поскольку q~1/λλа, то экспоненциальный множитель eiq(r1r2) является в этом интервале быстро осциллирующей функцией, и его среднее значение обращается в нуль. Таким образом, при λа сечение рассеяния равно

= Z sin2θ do,                                                    (80.8)

т. е. пропорционально первой степени атомного номера. Замегим, что эта формула неприменима при малых углах рассеяния (ϑ~λ/а), так как в этом случае q~ϑ/λ~1/а и показатель qr невелик по сравнению с единицей.

Для определения сечения когерентного рассеяния мы должны выделить ту часть ноля рассеянной волны, которая имеет частоту ω. Выражение (80.5) для поля зависит от времени через множитель eiωt и, кроме того, от времени зависит также сумма ∑eiqr. Эта последняя зависимость и приводит к тому, что в поле рассеянной волны содержатся наряду с частотой ω еще и другие (хотя и близкие к ней) частоты. Та часть поля, которая обладает частотой ω (т. е. зависит от времени только посредством множителя eiωt), получится, очевидно, если усреднить по времени сумму eiqr. Соответственно этому выражение для сечения когерентного рассеяния ког отличается от полного сечения тем, что вместо среднего значения квадрата модуля суммы в нем стоит квадрат модуля среднего значения суммы:

ког  sin2θ do.                                (80.9)

Полезно заметить, что это среднее значение суммы есть (с точностью до коэффициента) не что иное, как пространственная компонента Фурье от среднего распределения ρ(r) плотности электрического заряда в атоме:

e ρ(r)eiqr Vd = ρq .                                     (80.10)

При λа мы можем снова заменить eiqr единицей, так что

                 (80.11)

Сравнивая это с полным сечением (80.7), мы видим, что ког=, т. е. все рассеяние является когерентным.

Если же λа, то при усреднении в (80.9) все члены суммы (как средние значения быстро осциллирующих функций времени) исчезают, так что ког=0. Таким образом, в этом случае рассеяние целиком некогерентно.