27 | 05 | 2022

Поле излучения на близких расстояниях

Формулы дипольного излучения были выведены нами для ноля на расстояниях, больших по сравнению с длиной волны (и тем более по сравнению с размерами излучающей системы). Мы будем по-прежнему считать, что длина волны велика по сравнению с размерами системы, но будем рассматривать поле на расстояниях, хотя и больших по сравнению с последними, но сравнимыми с длиной волны.

Формула (67.4) для векторного потенциала

А =                       (72.1)

по-прежнему остается в силе, так как для ее вывода было использовано лишь то, что R0 велико по сравнению с размерами системы. Однако поле нельзя рассматривать теперь, даже в небольших участках, как плоскую волну. Поэтому формулы (67.5) и
(67.6) для электрического и магнитного полей уже неприменимы, и для их вычисления надо определить предварительно как A, так и φ.

Формулу для скалярного потенциала можно получить из выражения для A непосредственно с помощью общего условия (62.1)

div А  = 0,

наложенного на потенциалы. Подставляя в него (72.1) и интегрируя по времени, найдем

φ = − div .               (72.2)

Постоянную интегрирования (произвольную функцию координат) мы не пишем, так как нас интересует только переменная часть потенциала. Напомним, что в формуле (72.2), как и в (72.1), значение d должно браться в момент времени t'="tR0/c.

Теперь уже не представляет труда вычислить электрическое и магнитное поле. По обычным формулам, связывающим Е и Н с потенциалами, находим

Н rot  ,                      (72.3)

E = grad div   .          (72.4)

Выражение для Е можно переписать в другом виде, заметив, что dt'/R0 как и всякая функция координат и времени вида

 ƒt − ,

удовлетворяет волновому уравнению

  = Δ.

Воспользовавшись также известной формулой

rot rot a = grad div а − Δа,

найдем, что

Е = rot rot .                  (72.5)