06 | 10 | 2022

Излучение при кулоновом взаимодействии

Рассмотрим особо предельные случаи малых и больших частот. В интеграле

eiv(ξ−sh ξ) = iπHiv (iv),                   (70.20)

определяющем функцию Ганкеля, существенна только та область значений переменной интегрирования ξ, в которой экспонента имеет порядок величины единицы. При малых частотах (v≪1) существенна поэтому область больших ξ. Но при больших ξ имеем shξξ. Таким образом, приближенно

(iv) ≈ − eiv sh ξ = (iv).

Аналогичным образом найдем, что

′ (iv) ≈ ′(iv).

Воспользовавшись, наконец, известным из теории функций Бесселя приближенным выражением (при малых x)

i(iv) ≈  ln 

(γ=eC, где С — постоянная Эйлера; γ=1,781...), получим следующее выражение для эффективного излучения при малых частотах:

ω  − ln   при ω ≪ .           (70.21)

Оно зависит от частоты логарифмически.

При больших частотах (v≫1) в интеграле (70.20) существенны, напротив, малые ξ. Соответственно этому разлагаем экспоненту подынтегрального выражения по степеням ξ и имеем приближенно:

(iv) ≈ − exp ξ3 = − Re exp ξ3.

Этот интеграл подстановкой ivξ3/6=η приводится к Г-функции, и в результате получается

(iv) ≈ −  Г.

Аналогичным образом найдем

′ (iv) ≈ Г.