06 | 10 | 2022

Излучение при кулоновом взаимодействии

Вычисление компонент Фурье (речь идет теперь о разложении в интеграл Фурье) производится в точности аналогично предыдущему случаю. В результате получаем

xω '(ivε),   yω (ivε),       (70.15)

где  — функция Ганкеля 1-го рода ранга iv и введено обозначение

v                                                    (70.16)

(v0 — относительная скорость частиц на бесконечности; энергия ξ=μ/2). При вычислении использована известная формула

epξ−ix sh ξ = (ix).                                    (70.17)

Подставляя (70.15) в формулу

dω − (|xω|2 + |yω|2

(см. (67.10)), получим

dω − '(ivε) + (ivε)dω.       (70.18)

Большой интерес представляет «эффективное излучение» при рассеянии пучка параллельно движущихся частиц. Для его вычисления умножаем dω на 2πρ dρ и интегрируем по всем ρ от нуля до бесконечности. Интегрирование по  заменяем интегрированием по  (в пределах от 1 до ∞), воспользовавшись тем, что 2πρ dρ=2πa2ε dε это соотношение получается из определений (70.12), в которых момент M и энергия  связаны с прицельным расстоянием ρ и скоростью v0 посредством

М = ρμv0,    = .

Получающийся интеграл берегся с помощью формулы

z + − 1 = (zZpZ'p),

где Zp(z) — любое решение уравнения Бесселя порядка p. Имея в виду, что при ε→∞ функция Ганкеля (ivε) обращается в нуль, получим в результате следующую формулу:

ω =   − |(iv)|′(iv) dω.        (70.19)