27 | 05 | 2022

Излучение при кулоновом взаимодействии

Здесь введена частота

ω0 = = .

Вместо компонент Фурье от координат удобнее вычислять компоненты Фурье от скоростей, воспользовавшись тем, что =−0nxn, =−0nyn. Имеем

 xn = = e0nt dt.

Но  dt=dx=−a sinξ dξ; переходя от интегрирования по dt к интегрированию по dξ, имеем, таким образом:

 xn = − ein(ξ−ε sinξ) sinξ dξ.

Аналогичным образом находим

yn = ein(ξ−ε sinξ) cosξ dξ  ein(ξ−ε sinξ) dξ

(при переходе от первого интеграла ко второму в подынтегральном выражении пишем cosξ cosξ + ; тогда интеграл от первого члена берется и притом тождественно обращается в нуль). Наконец, воспользуемся известной формулой теории функций Бесселя:

ei(nξ−x sinξ) dξ cos( − x sinξ = Jn (x),       (70.6)

где Jn (x) — функция Бесселя целочисленного порядка n. В результате окончательно получаем следующие выражения для искомых компонент Фурье:

xn = J'n (),   yn Jn()                            (70.7)

(штрих y функции Бесселя обозначает дифференцирование по ее аргументу).