27 | 05 | 2022

Излучение при кулоновом взаимодействии

В этом параграфе мы выведем для справочных целей ряд формул, относящихся к дипольному излучению системы из двух заряженных частиц; предполагается, что скорости частиц малы по сравнению со скоростью света.

Равномерное движение системы как целого (т. е. движение ее центра инерции) не представляет интереса, так как не приводит к излучению; поэтому мы должны рассматривать только относительное движение частиц. Выберем начало координат в центре инерции. Тогда дипольный момент системы d=e1r1+e2r2 напишется в виде

d =  rμ  −  r,                (70.1)


где индексы 1 и 2 относятся к обеим частицам, r=r1r2 есть радиус-вектор между ними, а μ=(m1m2)/(m1+m2) — приведенная масса.

Начнем с излучения, сопровождающего эллиптическое движение двух притягивающихся по закону Кулона частиц. Как известно из механики, это движение может быть описано как движение частицы с массой μ по эллипсу, уравнение которого в полярных координатах имеет вид

1 + ε cоsφ ,                                       (70.2)

где большая полуось a и эксцентриситет ε равны

aε = .                                (70.3)

Здесь  есть полная энергия частиц (без энергии покоя!), отрицательная при финитном движении; М=μr2φ — момент количества движения; α — постоянная закона Кулона:

α = |e1e2|.

Зависимость координат от времени может быть записана в виде параметрических уравнений

r = a (1 − ε cosξ),   t = (ξε sinξ).              (70.4)

Одному полному обороту по эллипсу соответствует изменение параметра ξ от нуля до 2π; период движения равен

Т = 2π.

Определим компоненты Фурье дипольного момента. Ввиду периодичности движения речь идет о разложении в ряд Фурье. Поскольку дипольный момент пропорционален радиус-вектору r, то задача сводится к вычислению компонент Фурье от координат x=r cosφ и y=r sinφ. Зависимость x и y от времени определяется параметрическими уравнениями

x = a(cosξ − ε),  y = asinξ,  ω0t = ξε sinξ.        (70.5)