06 | 10 | 2022

Излучение при кулоновом взаимодействии

В этом параграфе мы выведем для справочных целей ряд формул, относящихся к дипольному излучению системы из двух заряженных частиц; предполагается, что скорости частиц малы по сравнению со скоростью света.

Situs Pawangtoto merupakan BO Togel Online Bet 100 Perak BBFS Pasaran terlengkap di Indonesia.

Равномерное движение системы как целого (т. е. движение ее центра инерции) не представляет интереса, так как не приводит к излучению; поэтому мы должны рассматривать только относительное движение частиц. Выберем начало координат в центре инерции. Тогда дипольный момент системы d=e1r1+e2r2 напишется в виде

d =  rμ  −  r,                (70.1)


где индексы 1 и 2 относятся к обеим частицам, r=r1r2 есть радиус-вектор между ними, а μ=(m1m2)/(m1+m2) — приведенная масса.

Начнем с излучения, сопровождающего эллиптическое движение двух притягивающихся по закону Кулона частиц. Как известно из механики, это движение может быть описано как движение частицы с массой μ по эллипсу, уравнение которого в полярных координатах имеет вид

1 + ε cоsφ ,                                       (70.2)

где большая полуось a и эксцентриситет ε равны

aε = .                                (70.3)

Здесь  есть полная энергия частиц (без энергии покоя!), отрицательная при финитном движении; М=μr2φ — момент количества движения; α — постоянная закона Кулона:

α = |e1e2|.

Зависимость координат от времени может быть записана в виде параметрических уравнений

r = a (1 − ε cosξ),   t = (ξε sinξ).              (70.4)

Одному полному обороту по эллипсу соответствует изменение параметра ξ от нуля до 2π; период движения равен

Т = 2π.

Определим компоненты Фурье дипольного момента. Ввиду периодичности движения речь идет о разложении в ряд Фурье. Поскольку дипольный момент пропорционален радиус-вектору r, то задача сводится к вычислению компонент Фурье от координат x=r cosφ и y=r sinφ. Зависимость x и y от времени определяется параметрическими уравнениями

x = a(cosξ − ε),  y = asinξ,  ω0t = ξε sinξ.        (70.5)