27 | 05 | 2022

Уравнения электродинамики при наличии гравитационного поля

Уравнения электромагнитного поля специальной теории относительности легко обобщить так, чтобы они были применимы в любой четырехмерной криволинейной системе координат, т. е. в случае наличия гравитационного поля.

Тензор электромагнитного поля в специальной теории относительности определялся как Fik=. Очевидно, что теперь он должен быть соответственно определен как Fik=Ak;iAi;k. Но в силу (86.12)

Fik = Ak;iAi;k= ,              (90.1)

так что связь с потенциалом А{, не меняется. Вследствие этого первая пара уравнений Максвелла (26.5)

+ = 0                         (90.2)

тоже сохраняет свой вид.

Для того чтобы написать вторую пару уравнений Максвелла, надо предварительно определить в криволинейных координатах 4-вектор тока. Это мы сделаем аналогично тому, как мы поступали ранее. Пространственный элемент объема, построенного на элементах пространственных координат dx1, dx2, dx3, есть dV, где γ — определитель пространственного метрического тензора (84.7), а dV=dx1dx2dx3. Введем плотность зарядов ρ согласно определению de=ρdV, где de — заряд, находящийся в элементе объема dV. Умножив обе части этого равенства на dxi, имеем

de dxiρ dxidx1dx2dx3 dΩ

(мы использовали формулу −g=γg00 (84.10)). Произведение dΩ есть инвариантный элемент 4-объема, так что 4-вектор тока определяется выражением

ji                                               (90.3)

(величины dxi/dx0 — скорости изменения координат со «временем» x0 —сами не составляют 4-вектора!). Компонента j0 4-вектора тока, умноженная на /c, есть пространственная плотность зарядов.

Для точечных зарядов плотность ρ выражается суммой δ-функций аналогично формуле (28.1). При этом, однако, надо уточнить определение этих функций в случае криволинейных координат. Мы будем понимать δ(r) по-прежнему как произведение δ(x1)δ(x2)δ(x3) вне зависимости от геометрического смысла координат x1, x2, x3; тогда равен единице интеграл по dV (а не по dV): ∫δ(r)dV=1. С таким определением δ-функций плотность зарядов

ρ = δ(rra),

а 4-вектор тока

ji =  δ(rra) .                     (90.4)

Сохранение заряда выражается уравнением непрерывности, которое отличается от (29.4) лишь заменой обычных производных ковариантными:

ji;i ( ji) = 0                    (90.5)

(использована формула (86.9)).

Аналогичным образом обобщается вторая пара уравнений Максвелла (30.2); заменяя в них обычные производные ковариантными, находим

Fik;k =  ( Fik) = −  ji      (90.6)

(использована формула (86.10)).

Наконец, уравнения движения заряженной частицы в гравитационном и электромагнитном полях получаются заменой в (23.4) 4-ускорения dui/ds на Dui/ds:

mc  = mc + ukul Fikuk.     (90.7)