27 | 05 | 2022

Постоянное гравитационное поле

Легко показать, что выражение (88.9) для энергии остается в силе и в стационарном поле, если только скорость v измерять в собственном времени, определенном по часам, синхронизованным вдоль траектории частицы. Если частица выходит из точки A в момент мирового времени x0 и приходит в бесконечно близкую точку В в момент x0+dx0, то для определения скорости надо взять теперь не промежуток времени (x0+dx0)−x0=dx0, а разность между x0+dx0 и моментом x0dxα, который одновременен в точке B моменту x0 в точке А:

(x0 + dx0) − x0 dxα = x0 + dxα.

Умножив его на /с, получим соответствующий интервал собственного времени, так что скорость

vα,                 (88.10)

где мы ввели обозначения

gα,  h = g00                             (88.11)

для трехмерного вектора g и для трехмерного скаляра g00. Ковариангные компоненты скорости v как трехмерного вектора в пространстве с метрикой γαβ и соответственно квадрат этого вектора надо понимать как

vα = γαβ vβv2 = vαvα.                    (88.12)

Заметим, что при таком определении интервал ds выражается через скорость формулой, аналогичной обычной формуле

ds2 = g00(dx0)2 + 2g0αdx0dxα + gαβdxαdxβ = h(dx0 − gαdxα)2 − dl2 = h(dx0 − gαdxα)2 1 − .   (88.13)

Компоненты 4-скорости ui= dxi/ds равны

uαu0.   (88.14)

Энергия же

0 = mc2g0iui = mc2h(u0 − gαuα)

и после подстановки (88.14) приобретает вид (88.9).

В предельном случае слабого гравитационного поля и малых скоростей, подставляя g00=1+2φ/с2 в (88.9), получим приближенно

0 = mc2 + ,                                 (88.15)

где  — потенциальная энергия частицы в гравитационном поле, что находится в соответствии с функцией Лагранжа (87.10).