27 | 05 | 2022

Постоянное гравитационное поле

Гравитационное поле называют постоянным, если можно выбрать такую систему отсчета, в которой все компоненты метрического тензора не зависят от временной координаты x0; последнюю называют в таком случае мировым временем.

Выбор мирового времени не вполне однозначен. Так, при добавлении к x0 произвольной функции пространственных координат все gik по-прежнему не будут содержать x0; это преобразование соответствует произвольности выбора начала отсчета времени в каждой точке пространства. Кроме того, разумеется, мировое время допускает умножение на произвольную постоянную, т.е. произвольный выбор единицы его измерения.

Строго говоря, постоянным может быть лишь поле, создаваемое одним телом. В системе нескольких тел их взаимное гравитационное притяжение приводит к возникновению движения, в результате чего создаваемое ими поле не может быть постоянным.

Если создающее поле тело неподвижно (в системе отсчета, в которой gik не зависит от x0), то оба направления времени эквивалентны. При должном выборе начала отсчета времени во всех точках пространства, интервал ds в этом случае не должен меняться при изменении знака x0, а потому все компоненты g0α метрического тензора должны быть тождественно равными нулю. Такие постоянные гравитационные поля мы будем называть статическими.

Неподвижность тела, однако, не является обязательным условием постоянства создаваемого им поля. Так, будет постоянным также и поле равномерно вращающегося вокруг своей оси аксиально-симметричного тела. Но в этом случае оба направления времени уже отнюдь не равноценны — при изменении знака времени меняется знак угловой скорости вращения. Поэтому в таких постоянных гравитационных полях (которые мы будем называть стационарными) компоненты g0α метрического тензора, вообще говоря, отличны от нуля.

Смысл мирового времени в постоянном гравитационном поле заключается в том, что его промежуток между двумя событиями в некоторой точке пространства совпадает с его промежутком между любыми другими двумя событиями в любой другой точке пространства, соответственно одновременными с первой парой событий. Но одинаковым промежуткам мирового времени x0 соответствуют в разных точках пространства различные промежутки собственного времени τ. Связь (84.1) между ними можно написать теперь в виде

τ  x0,                                     (88.1)

применимом к любым конечным промежуткам.

В слабом гравитационном поле можно воспользоваться приближенным выражением (87.12); при этом (88.1) дает, с той же точностью:

τ 1.                                  (88.2)

Таким образом, собственное время течет тем медленнее, чем меньше гравитационный потенциал в данной точке пространства, т.е. чем больше его абсолютная величина (ниже будет показано, что потенциал φ отрицателен). Если из двух одинаковых часов одни находились некоторое время в гравитационном поле, то после этого часы, бывшие в поле, окажутся отставшими.

Как уже было указано, в статическом гравитационном поле компоненты g0α метрического тензора равны нулю. Это значит, что в таком поле возможна синхронизация часов во всем пространстве.

Заметим также, что для элемента пространственного расстояния в статическом поле имеем просто

dl2 = −gαβdxαdxβ.                              (88.3)

В стационарном поле g отличны от нуля и синхронизация часов во всем пространстве невозможна. Поскольку gik не зависят от x0, то формулу (84.14) для разности значений мирового времени двух одновременных событий, происходящих в разных точках пространства, можно написать в виде

Δx0 = − ,                           (88.4)

применимом для любых двух точек на линии, вдоль которой производится синхронизация часов. При синхронизации же вдоль замкнутого контура разность значений мирового времени, которая обнаружилась бы по возвращении в исходную точку, равна интегралу

Δx0 = −  ,                         (88.5)

взятому по этому замкнутому контуру.