27 | 05 | 2022

Движение частицы в гравитационном поле

Квадрат волнового 4-вектора равен нулю:

kiki = 0.                                    (87.8)

Подставляя сюда ψ/∂xi вместо ki (ψ — эйконал), находим уравнение эйконала в гравитационном поле:

gik  = 0.                      (87.9)

В предельном случае малых скоростей релятивистские уравнения движения частицы в гравитационном поле должны перейти в соответствующие нерелятивистские уравнения. При этом надо иметь в виду, что из предположения о малости скоростей вытекает также условие, что само гравитационное поле должно быть слабым; в противном случае находящаяся в нем частица приобрела бы большую скорость.

Выясним, как связан в этом предельном случае метрический тензор gik с нерелятивистским потенциалом φ гравитационного поля.

В нерелятивистской механике движение частицы в гравитационном поле определяется функцией Лагранжа (81.1). Мы напишем ее теперь в виде

L = −mc2 + ,                   (87.10)

прибавив постоянную mc2. Это надо сделать для того, чтобы нерелятивистская функция Лагранжа в отсутствие поля L=mc2+mv2/2 была в точности той, в которую переходит соответствующая релятивистская функция L=mc2 в пределе при v/c→0.

Нерелятивистское действие S для частицы в гравитационном поле, следовательно, имеет вид

SLdt = −mc c −  + dt.

Сравнивая это с выражением S=−msds, мы видим, что в рассматриваемом предельном случае

ds = c −  + dt,

Возводя в квадрат и опуская члены, обращающиеся при c→∞в нуль, находим

ds2 = (c2 + 2φ)dt2 − dr2,             (87.11)

где мы учли, что vdt=dr.

Таким образом, компонента g00 метрического тензора в предельном случае равна

g00 = 1 + .                               (87.12)

Что касается остальных компонент, то из (87.11) следовало бы, что gαß=δαß, g0ß=0. В действительности, однако, поправки к ним, вообще говоря, того же порядка величины, что и поправка в g00. Невозможность определения этих поправок приведенным выше способом связана с тем, что поправка в gαß, имеющая тот же порядок величины, что и поправка в g00, привела бы в функции Лагранжа к членам более высокого порядка малости (вследствие того, что в выражении для ds2 компоненты gαß не умножаются на c2, как это имеет место для g00).