27 | 05 | 2022

Связь символов Кристоффеля с метрическим тензором

При различных вычислениях бывает полезным иметь в виду, что производные от контравариантного тензора gik связаны с производными от соотношениями

gil = − glk                                                            (86.7)

(получающимися при дифференцировании равенства gilglk=). Наконец, укажем, что производные от gik тоже могут быть выражены через величины . Именно, из тождества gik;l=0 непосредственно следует, что

= − gmk − gim.                                                (86.8)

С помощью полученных формул можно привести к удобному виду выражение , являющееся обобщением дивергенции вектора на криволинейные координаты. Воспользовавшись (86.5), имеем

Al + Al ,

или окончательно

 .                                                 (86.9)

Аналогичное выражение можно получить и для дивергенции антисимметричного тензора Aik. Из (85.12) имеем

= + Amk + Aim.

Но поскольку Amk=−Akm, то

Amk = − Akm = 0.

Подставляя выражение (86.5) для находим, следовательно:

=  .                      (86.10)

Пусть теперь Аik — симметричный тензор; определим выражение  для его смешанных компонент. Имеем

 −  .

Последний член здесь равен

Akl.

В силу симметрии тензора Akl два члена в скобках взаимно сокращаются, и остается

=   −   Akl.                  (86.11)

В декартовых координатах  −  есть антисимметричный тензор. В криволинейных координатах этот тензор есть Ai;k − Ak;i. Однако с помощью выражений для Ai;k и ввиду того, что =, имеем

Ai;k − Ak;i =  − .                                      (86.12)

Наконец, преобразуем к криволинейным координатам сумму  вторых производных от некоторого скаляра φ. Очевидно, что в криволинейных координатах эта сумма перейдет в . Но φ;i=∂φ/∂xi, так как ковариантное дифференцирование скаляра сводится к обычному дифференцированию. Поднимая индекс i, имеем

φ;i = gik

и с помощью формулы (86.9) находим

= gik .                        (86.13)

Полезно заметить, что теорема Гаусса (83.17) для преобразования интеграла от вектора по гиперповерхности в интеграл по 4-объему может быть написана ввиду (86.9) как

Ai dSi = dΩ.                          (86.14)