27 | 05 | 2022

Связь символов Кристоффеля с метрическим тензором

Докажем, что ковариантная производная от метрического тензора gik равна нулю. Для этого заметим, что для вектора DAi как и для всякого вектора, должно иметь место соотношение

DAi = gikDAk.

С другой стороны, Ai=gikAk, и потому

DAi = D(gikAk) = gikDAk + AkDgik.

Сравнивая с DAi=gikDAk, имеем в виду произвольности вектора Аi:

Dgik = 0.

Поэтому и ковариантная производная

gik;l = 0.                        (86.1)

Таким образом, при ковариантном дифференцировании gik надо рассматривать как постоянные.

Равенством gik;l=0 можно воспользоваться для того, чтобы выразить символы Кристоффеля  через метрический тензор gik. Для этого напишем согласно общему определению (85.14):

gik;l − gmk − gim − Гk;il − Гi;kl = 0.

Таким образом, производные от gik выражаются через символы Кристоффеля. Напишем эти производные, переставляя индексы i, k, l:

= Гk,il − Гi,kl,   Гk,il − Гi,kl,   −  = Гl,ki − Гk,li.

Взяв полусумму этих равенств, находим (помня, что Гi;kl=Гi;lk)

Гi,kl = + .                                   (86.2)

Отсюда имеем для символов =gim Tmiki:

gim .                       (86.3)

Эти формулы и дают искомые выражения символов Кристоффеля через метрический тензор.

Выведем полезное для дальнейшего выражение для упрощенного символа Кристоффеля . Для этого определим дифференциал dg определителя g, составленного из компонент тензора gjk; dg можно получить, взяв дифференциал от каждой компоненты тензора gik и умножив ее на свой коэффициент в определителе, т. е. на соответствующий минор. С другой стороны, компоненты тензора gik, обратного тензору gik, равны, как известно, минорам определителя из величин gik, деленным на этот определитель. Поэтому миноры определителя g равны ggik. Таким образом,

dg = ggikdgik = − ggikdgik                                     (86.4)

(поскольку gikgik==4, то gikdgik=gikdgik).

Из (86.3) имеем

 =  gim .

Меняя местами индексы m и i в третьем и первом членах в скобках, видим, что оба эти члена взаимно сокращаются, так что

 =  gim ,

или согласно (86.4)

 = = .                               (86.5)

Полезно заметить также выражение для величины gkl. Имеем

gkl = gklgim = gklgim −  .

С помощью (86.4) это можно преобразовать к виду

gkl = −  .                                                 (86.6)