27 | 05 | 2022

Ковариантное дифференцирование

Пусть Аi и Вi — некоторый ковариантный и некоторый контравариантный векторы. Тогда из δ(АiВi)=0 имеем

ВiδАi = − АiδВiBkAidxl,

или, меняя обозначение индексов,

ВiδАi = AkBidxl.

Отсюда имеем ввиду произвольности Вi:

δАi = Akdxl,                                  (85.5)

чем и определяется изменение ковариантного вектора при параллельном переносе.

Подставляя (85.2) и dAi= dxl в (85.1), имеем

DAi = + Akdxl.                 (85.6)

Аналогично находим дчя ковариантного вектора:

DAi = + Akdxl.                  (85.7)

Выражения, стоящие в скобках в (85.6), (85.7) являются тензорами, так как умноженные на вектор dxl они дают снова вектор. Очевидно, что они и являются теми тензорами, которые осуществляют искомое обобщение понятия производной от вектора на криволинейные координаты. Эти тензоры носят название ковариантпных производных соответственно векторов Аi и Аi. Мы будем обозначать их через Аi;k и Аi;k. Таким образом,

DAi = Ai;l dxl,   DAi = Ai;l dxl,         (85.8)

а сами ковариантные производные:

Аi;k = + Ak,                          (85.9)

Аi;k =  − Ak.                         (85.10)

В галилеевых координатах =0 и ковариантные производные переходят в обычные.

Легко определить также ковариантную производную от тензора. Для этого надо определить изменение тензора при бесконечно малом параллельном переносе. Рассмотрим, например, какой-нибудь контравариантный тензор, являющийся произведением двух контравариантных векторов AiBk. При параллельном переносе имеем

δ(AiBk) = AiδBk + BkδAi = − AiBldxmBkAldxm.

В силу линейности этого преобразования оно должно иметь место и для любого тензора Aik:

δAik = − (Aim + Amk) dxl.                  (85.11)

Подставляя это в

DAik = dAik − δAik ≡ Аik;l dxl ,

находим ковариантную производную тензора Aik в виде

Аik;l = AmkAim.                 (85.12)

Совершенно аналогично находим ковариантные производные смешанного и ковариантного тензоров в виде

Aik;l =  −  + ,                  (85.13)

Aik;l − Amk − Aim.                 (85.14)