27 | 05 | 2022

Ковариантное дифференцирование

В галилеевых координатах дифференциалы dAi вектора Ai образуют вектор, а производные ∂Ai/xk от компонент вектора по координатам образуют тензор. В криволинейных же координатах это не имеет места; dAi не есть вектор, а ∂Ai/xk не есть тензор. Это связано с тем, что dAi есть разность векторов, находящихся в разных (бесконечно близких) точках пространства; в разных же точках пространства векторы преобразуются различно, так как коэффициенты в формулах преобразования (83.2), (83.4) являются функциями координат.

В сказанном легко убедиться и непосредственно. Для этого выведем формулы преобразования дифференциалов в криволинейных координатах. Ковариантный вектор преобразуется согласно формулам

Ai = A'k;

поэтому

dAi = dA'k + A'kd =  dA'k + A'k dxl.

Таким образом, dAi преобразуется вовсе не как вектор (то же относится, конечно, и к дифференциалам контравариантных векторов). Только в случае, если вторые производные 2x'k/∂xi∂xl=0, т. е. если x'k являются линейными функциями от xk, формулы преобразования имеют вид

dAi = dA'k,

т. е. dAi преобразуется как вектор.

Мы займемся теперь определением тензора, который играет в криволинейных координатах роль тензора ∂Ai/xk в галилеевых координатах. Другими словами, мы должны преобразовать ∂Ai/xk от галилеевых координат к криволинейным.

Для того чтобы получить в криволинейных координатах дифференциал вектора, являющийся вектором, надо, чтобы оба вычитаемых один из другого вектора находились в одной точке пространства. Другими словами, надо каким-то образом «перенести» один из двух бесконечно близких векторов в точку, где находится второй, после чего определить разность обоих векторов, относящихся теперь к одной и той же точке пространства. Сама операция переноса должна быть при этом определена таким образом, чтобы в галилеевых координатах указанная разность совпадала с обычным дифференциалом dAi. Поскольку dAi есть просто разность компонент двух бесконечно близких векторов, то это значит, что в результате операции переноса при пользовании галилеевыми координатами компоненты вектора не должны изменяться. Но такой перенос есть не что иное, как перенос вектора параллельно самому себе. При параллельном переносе вектора его компоненты в галилеевых координатах не меняются; если же пользоваться криволинейными координатами, то при таком переносе компоненты вектора, вообще говоря, изменятся. Поэтому в криволинейных координатах разность компонент обоих векторов после перенесения одного из них в точку, где находится второй, не будет совпадать с их разностью до переноса (т.е. с дифференциалом dAi).

Таким образом, при сравнении двух бесконечно близких векторов мы должны один из них подвергнуть параллельному переносу в точку, где находится второй. Рассмотрим какой-нибудь контравариантный вектор; если его значение в точке с координатами xi есть Ai, то в соседней точке xi+dxi он равен Ai+dAi. Вектор Ai подвергнем бесконечно малому параллельному переносу в точку xi+dxi его изменение при этом обозначим через δAi. Тогда разность DAi между обоими векторами, находящимися теперь в одной точке, равна

DAi = dAi − δAi.                                 (85.1)

Изменение δAi компонент вектора при бесконечно малом параллельном переносе зависит от величины самих компонент, причем эта зависимость должна, очевидно, быть линейной. Это следует непосредственно из того, что сумма двух векторов должна преобразовываться по тому же закону, что и каждый из них. Таким образом, δAi имеет вид

δAi = − Akdxl,                                (85.2)

где  — некоторые функции координат, вид которых зависит, конечно, от выбора системы координат; в галилеевой системе все =0.

Уже отсюда видно, что величины  не образуют тензора, так как тензор, равный нулю в одной системе координат, равен нулю и во всякой другой. В искривленном пространстве нельзя никаким выбором координат обратить все  везде в нуль.

Принцип эквивалентности требует, однако, чтобы надлежащим выбором системы координат можно было исключить гравитационное поле в данном бесконечно малом участке пространства, т. е. обратить в нем в нуль величины , играющие роль напряженностей этого поля.

Величины  называют коэффициентами связности или символами Кристоффеля.

Мы будем ниже пользоваться также и величинами Гi,kl, определяемыми следующим образом:

Гi,kl = gim.                                    (85.3)

Обратно:

 = gimГm, kl.                                  (85.4)

Легко связать и изменение компонент ковариантного вектора при параллельном переносе с символами Кристоффеля. Для этого заметим, что при параллельном переносе скаляры, очевидно, не меняются. В частности, не меняется при параллельном переносе скалярное произведение двух векторов.