27 | 05 | 2022

Расстояния и промежутки времени

Укажем также, что определители g и γ, составленные соответственно из величин gik и γαβ связаны друг с другом простым соотношением:

g = g00γ.                             (84.10)

В ряде дальнейших применений нам будет удобно вводить трехмерный вектор g, ковариантные компоненты которого определяются как

gα = − .                           (84.11)

Рассматривая g как вектор в пространстве с метрикой (84.6), мы должны определить его контравариантные компоненты как ga=γαβgβ помощью (84.9) и второго из равенств (84.8) легко видеть, что

ga = γαβgβ = −g0α.                (84.12)

Отметим также формулу, следующую из третьего из равенств (84.8):

g00gαgα.                  (84.13)

Перейдем теперь к определению понятия одновременности в общей теории относительности. Другими словами, выясним вопрос о возможности синхронизации часов, находящихся в разных точках пространства, т. е. приведения в соответствие друг с другом показаний этих часов.

Такая синхронизация должна быть, очевидно, осуществлена с помощью обмена световыми сигналами между обеими точками. Рассмотрим снова процесс распространения сигналов между двумя бесконечно близкими точками А и В, изображенный на рис. 18. Одновременным с моментом x0 в точке А следует считать показание часов в точке В, лежащее посередине между моментами отправления и обратного прибытия сигнала в эту точку, т. е. момент

x0 + Δx0x0 + (dx0(2) + dx0(1)).

Подставляя сюда (84.5), находим разность значений «времени» x0 для двух одновременных событий, происходящих в бесконечно близких точках, в виде

Δx0 = −  ≡ gαdxα.           (84.14)

Это соотношение дает возможность синхронизовать часы в любом бесконечно малом объеме пространства. Продолжая подобную синхронизацию из точки А дальше, можно синхронизовать часы, т.е. определить одновременность событий вдоль любой незамкнутой линии.

Синхронизация же часов вдоль замкнутого контура оказывается, вообще говоря, невозможной. Действительно, обойдя вдоль контура и вернувшись в исходную точку, мы получили бы для Δx0 отличное от нуля значение. Тем более оказывается невозможной однозначная синхронизация часов во всем пространстве. Исключение составляют лишь такие системы отсчета, в которых все компоненты g0α равны нулю.

Следует подчеркнуть, что невозможность синхронизации всех часов является свойством именно произвольной системы отсчета, а не пространства-времени как такового. В любом гравитационном поле всегда можно выбрать (и даже бесчисленным числом способов) систему отсчета таким образом, чтобы обратить три величины g0α тождественно в нуль и, тем самым, сделать возможной полную синхронизацию часов.

Уже в специальной теории относительности течение истинного времени различно для движущихся друг относительно друга часов. В общей же теории относительности истинное время течет различным образом и в разных точках пространства в одной и той же системе отсчета. Это значит, что интервал собственного времени между двумя событиями, происходящими в некоторой точке пространства, и интервал времени между одновременными с ними событиями в другой точке пространства, вообще говоря, отличны друг от друга.