27 | 05 | 2022

Расстояния и промежутки времени

 

Рис. 18

На схематическом рис. 18 сплошные прямые — мировые линии, соответствующие заданным координатам xα и xα+dxα, а штриховые — мировые линии сигналов. Ясно, что полный промежуток «времени» между отправлением и возвращением сигнала в ту же точку равен

dx0(2) − dx0(1) = .

Соответствующий промежуток истинного времени получается отсюда согласно (84.1) умножением на /c, а расстояние dl между обеими точками —еще умножением на с/2. В результате находим

dl2 = (−gαβ + )dxαdxβ.

Это и есть искомое выражение, определяющее расстояние через элементы пространственных координат. Перепишем его в виде

dl2 = γαβdxαdxβ ,                                         (84.6)

где

γαβ = − gαβ +                                 (84.7)

есть трехмерный метрический тензор, определяющий метрику, т. е. геометрические свойства пространства. Соотношениями (84.7) устанавливается связь между метрикой реального пространства и метрикой четырехмерного пространства-времени.

Необходимо, однако, помнить, что gik зависят, вообще говоря, от x0, гак что и пространственная метрика (84.6) меняется со временем. По этой причине не имеет смысла интегрировать dlтакой интеграл зависел бы от того, по какой мировой линии между двумя заданными пространственными точками он брался. Таким образом, в общей теории относительности теряет, вообще говоря, смысл понятие об определенном расстоянии между телами, остающееся в силе лишь в бесконечно малом. Единственным случаем, когда расстояние может быть определено и в конечных областях пространства, являются такие системы отсчета, в которых gik не зависят от времени, и потому интеграл ∫dl вдоль пространственной кривой имеет определенный смысл.

Полезно заметить, что тензор −γαβ является тензором, обратным контравариантному трехмерному тензору gαβ. Действительно, расписав в компонентах равенство gikgkl=, имеем

gαβgβγ + gα0g0γ = ,                        

gαβgβ0 + gα0g00 = 0,                (84.8)

g0βgβ0 + g00g00 = 1.                         

Определив gα0 из второго равенства и подставив в первое, получим

gαβγβγ = ,

что и требовалось доказать. Этот результат можно сформулировать иначе, сказав, что величины gαβ составляют контравариантный трехмерный метрический тензор, отвечающий метрике (84.6):

γαβ = gαβ.                              (84.9)