27 | 05 | 2022

Расстояния и промежутки времени

Мы уже говорили, что в общей теории относительности выбор системы отсчета ничем не ограничен; тремя пространственными координатами x1, x2, x3 могут являться любые величины, определяющие расположение тел в пространстве, а временная координата x0 может определяться произвольно идущими часами. Возникает вопрос о том, каким образом по значениям величин x0x1, x2, x3 можно определить истинные расстояния и промежутки времени.

Определим сначала связь истинного времени, которое мы будем ниже обозначать буквой т, с координатой x0. Для этого рассмотрим два бесконечно близких события, происходящих в одной и той же точке пространства. Тогда интеграл ds2 между этими двумя событиями есть не что иное, как cdτ, где — промежуток времени (истинного) между обоими событиями. Полагая dx1=dx2=dx3=0 в общем выражении ds2=gikdxidxk, находим, следовательно,

ds2 = с2 2 = g00(dx0)2,

откуда

=   dx0,                                       (84.1)

или для времени между любыми двумя событиями в одной и той же точке пространства

τ = dx0.                                     (84.2)

Эти соотношения и определяют промежутки истинного времени (или, как говорят, собственного времени для данной точки пространства) по изменению координаты x0. Заметим также, что величина g00, как видно из приведенных формул, положительна:

g00 > 0.                                               (84.3)

Необходимо подчеркнуть разницу между смыслом условия (84.3) и смыслом условия об определенной сигнатуре (знаках главных значений) тензора gik. Тензор gik, не удовлетворяющий второму из этих условий, вообще не может соответствовать какому бы то ни было реальному гравитационному полю, т. е. метрике реального пространства-времени. Невыполнение же условия (84.3) означало бы лишь, что соответствующая система отсчета не может быть осуществлена реальными телами; если условие о главных значениях при этом выполняется, то надлежащим преобразованием координат можно добиться того, что g00 станет положительным (пример подобной системы представляет собой вращающаяся система координат).

Определим теперь элемент dl пространственного расстояния. В специальной теории относительности можно определять dl как интервал между двумя бесконечно близкими событиями, происходящими в один и тот же момент времени. В общей теории относительности этого, вообще говоря, уже нельзя сделать, т.е. нельзя определить dl, просто положив dx0=0 в ds. Это связано с тем, что в гравитационном поле собственное время в разных точках пространства различным образом связано с координатой x0.

Для определения dl поступим теперь следующим образом.

Пусть из некоторой точки В пространства (с координатами xα+dxα) отправляется световой сигнал в бесконечно близкую к ней точку А (с координатами xα), а затем сразу обратно по тому же пути. Необходимое для этого время (отсчитываемое в одной и той же точке В), умноженное на c, есть, очевидно, удвоенное расстояние между обеими точками.

Напишем интервал, выделив пространственные и временную координаты:

ds2 = gαβdxαdxβ + 2g0αdx0dxα + g00(dx0)2,         (84.4)

где, как обычно, по дважды повторяющимся греческим индексам подразумевается суммирование по значениям 1, 2, 3. Интервал между событиями, являющимися уходом и приходом сигнала из одной точки в другую, равен нулю. Решая уравнение ds2=0 относительно dx0, найдем два корня:

dx0(1) (− g0αdxα),   dx0(2) (− g0αdxα + ),   (84.5)

отвечающих распространению сигнала в двух направлениях между А и В. Если x0 есть момент прибытия сигнала в А, то моменты его отправления из В и обратного возвращения в В будут соответственно будут соответственно будут соответственно x0+dx0(1) и x0+dx0(2).