27 | 05 | 2022

Криволинейные координаты

Этот якобиан можно выразить через определитель метрического тензора gik (в системе xi). Для этого пишем формулу преобразования метрического тензора:

gik = glm(0)

и приравниваем определители, составленные из величин, стоящих в обеих частях этого равенства. Определитель обратного тензора |gik|=1/g. Определитель же |glm(0)|=−1. Поэтому имеем 1/g=−J2, откуда J=1/.

Таким образом, в криволинейных координатах антисимметричный единичный тензор 4-го ранга должен быть определен как

Eiklm = eiklm.                          (83.13)

Опускание индексов у этого тензора осуществляется с помощью формулы

eprstgipgkrglsgmt = − geiklm,

так что его ковариантные компоненты

Eiklm eiklm.                            (83.14)

В галилеевой системе координат x'i интеграл от скаляра по dΩ'=dx'0dx'1dx'2dx'3 тоже есть скаляр, т.е. элемент dΩ' ведет себя при интегрировании как скаляр. При преобразовании к криволинейным координатам xi элемент интегрирования dΩ' переходит в

dΩ' dΩ dΩ.

Таким образом, в криволинейных координатах произведение  dΩ при интегрировании по 4-объему ведет себя как инвариант.

Все сказанное относительно элементов интегрирования по гиперповерхности, поверхности и линии остается в силе и в криволинейных координатах, с тем только отличием, что несколько меняется определение дуальных тензоров. Элемент «площади» гиперповерхности, построенный на трех бесконечно малых смещениях, есть контравариантный антисимметричный тензор dSikl; дуальный ему вектор получается при умножении на тензор  eiklm, т.е. равен

dSi = −  eiklm dSklm .                  (83.15)

Аналогично, если ik есть элемент поверхности (двухмерной), построенный на двух бесконечно малых смещениях, то дуальный ему тензор определяется как

d = eiklm dƒlm.                     (83.16)

Мы оставляем здесь обозначения dSi и d, как и прежде, соответственно для eklmidSklm и eiklm dƒlm (а не для их произведений на ); правила (6.14)—(6.19) для преобразования различных интегралов друг в друга остаются тогда теми же самыми, поскольку их вывод имеет формальный характер, не связанный с тензорными свойствами соответствующих величин. Из них нам в особенности понадобится правило преобразования интеграла по гиперповерхности в интеграл по 4-объему (теорема Гаусса), осуществляющегося заменой

dSi → dΩ .                                        (83.17)