27 | 05 | 2022

Криволинейные координаты

Квадрат элемента длины в криволинейных координатах есть квадратичная форма дифференциалов dxi:

ds2 = gikdxidxk,                                        (83.8)

где gik — функции координат, симметричных по индексам i и k:

gik = gki.                                                   (83.9)

Поскольку произведение (упрощенное) gik на контравариантный тензор dxidxk есть скаляр, то gik составляют ковариантный тензор; он называется метрическим тензором.

Два тензора Аik и Bik называются обратными друг другу, если

AikBkl = .

В частности, контравариантным метрическим тензором gik называется тензор, обратный тензору gik, т. е.

gikgkl                                           (83.10)

Одна и та же векторная физическая величина может быть представлена как в контра-, так и в ковариантных компонентах. Очевидно, что единственными величинами, которые могут определять связь между теми и другими, являются компоненты метрического тензора. Такая связь дается формулами

Аi = gikAk,   Ai = gikAk.                         (83.11)

В галилеевой системе координат метрический тензор имеет компоненты:

= gik(0) = .     (83.12)

Формулы (83.11) дают известную связь А0=А0, A1,2,3=−A1,2,3.

Сказанное относится и к тензорам. Переход между различными формами одного и того же физического тензора совершается с помощью метрического тензора по формулам

Aik = gilAlk,   Aik = gilgkmAlm

и т. п.

Ранее был определен (в галилеевой системе координат) совершенно антисимметричный единичный псевдотензор eiklm. Преобразуем его к произвольной криволинейной системе координат, причем обозначим его теперь через Eiklm. Обозначение же eiklm сохраним для величин, определенных по-прежнему по значению e0123=1 (или е0123=−1).

Пусть x'i — галилеевы, а xi — произвольные криволинейные координаты. Согласно общим правилам преобразования тензоров, имеем

Eiklm = eprst,

или

Eiklm = Jeiklm,

где J —определитель, составленный из производных ∂xi/∂х'р, т.е. не что иное, как якобиан преобразования от галилеевых координат к криволинейным:

J = .