27 | 05 | 2022

Криволинейные координаты

Поскольку при изучении гравитационных полей приходится рассматривать явления в произвольных системах отсчета, то возникает необходимость развить четырехмерную геометрию в форме, пригодной в произвольных координатах.

Рассмотрим преобразование одной системы координат x0x1, x2, x3 в другую x' 0,x' 1, x' 2, x' 3:

xiƒi (x' 0,x' 1, x' 2, x' 3),

где ƒi — некоторые функции. При преобразовании координат их дифференциалы преобразуются согласно формулам

dxi = dxik.                                         (83.1)

Контравариантным 4-вектором называется всякая совокупность четырех величин Аi, которые при преобразовании координат преобразуются как их дифференциалы:

Ai Aik .                                         (83.2)

Пусть φ — некоторый скаляр. Производные ∂φ/∂xi при преобразовании координат преобразуются согласно формулам

 ,                                    (83.3)

отличным от формул (83.2). Ковариантнъш 4-вектором называется всякая совокупность четырех величин Аi, которые при преобразовании координат преобразуются как производные от скаляра:

Аi = A'k.                                          (83.4)

Аналогичным образом определяются 4-тензоры различных рангов. Так, контравариантным 4-тензором 2-го ранга Аik называется совокупность 16 величин, преобразующихся как произведения двух контравариантных векторов, т. е. по закону

Аik =   A' lm.                              (83.5)

Ковариангный тензор 2-го ранга Aik преобразуется по закону

Aik = A'lm.                              (83.6)

а смешанный 4-тензор Aik — по формулам

Aik  A' lm.                              (83.7)

Данные определения являются естественным обобщением определений 4-векторов и 4-тензоров в галилеевых координатах, согласно которым дифференциалы dxi тоже составляют контравариантный, а производные ∂φ/∂xi — ковариантный 4-вектор.

Правила образования 4-тензоров путем перемножения или упрощения произведений других 4-тензоров остаются в криволинейных координатах теми же, что и в галилеевых координатах. Легко, например, убедиться в том, что в силу законов преобразования (83.2) и (83.4) скалярное произведение двух 4-векторов AiBi действительно инвариантно:

AiBi = A'l B'm = A'l B'm = A'l B'l.

Определение единичного 4-тензора  при переходе к криволинейным координатам не меняется: его компоненты снова =0 при ik, а при i=k равны 1. Если Аk — 4-вектор, то при умножении на  мы получим

Ak = Ai ,

т. е. снова 4-вектор; этим и доказывается, что  является тензором.