27 | 05 | 2022

Гравитационное поле в релятивистской механике

Истинное гравитационное поле не может быть исключено ни-каким преобразованием координат. Другими словами, при наличии гравитационного поля пространство-время таково, что определяющие его метрику величины gik никаким преобразованием координат не могут быть приведены во всем пространстве к их галилееву виду. Такое пространство-время называют кривым в отличие от плоского, в котором указанное приведение возможно.

Надлежащим преобразованием координат можно, однако, привести gik к галилееву виду в любой отдельной точке негалилеева пространства-времени: это сводится к приведению к диагональному виду квадратичной формы с постоянными коэффициентами (значения gik в данной точке). Такую систему координат мы будем называть галилеевой для данной точки.

Заметим, что, будучи приведенной в данной точке к диагональному виду, матрица величин gik имеет одно положительное и три отрицательных главных значения (совокупность этих знаков называют сигнатурой матрицы). Отсюда следует, в частности, что определитель g, составленный из величин gik, в реальном пространстве-времени всегда отрицателен:

g < 0.                                     (82.3)

Изменение метрики пространства-времени означает также и изменение чисто пространственной метрики. Галилеевым gik в плоском пространстве-времени соответствует евклидова геометрия пространства. В гравитационном же поле геометрия пространства становится неевклидовой. Это относится как к «истинным» гравитационным полям, в которых пространство-время «искривлено», гак и к полям, возникающим лишь от неинерциальности системы отсчета и сохраняющим пространство-время плоским.

Вопрос о пространственной геометрии в гравитационном поле будет рассмотрен ниже более подробно. Здесь же полезно привести простое рассуждение, наглядно иллюстрирующее неизбежность возникновения неевклидовости пространства при переходе к неинерциалыюй системе отсчета. Рассмотрим две системы отсчета, из которых одна (K) инерциальна, а другая (K') равномерно вращается относительно K вокруг общей оси z. Окружность в плоскости ху системы K (с центром в начале координат) может рассматриваться и как окружность в плоскости х'у' системы K'. Измеряя длину окружности и ее диаметр масштабной линейкой в системе K, мы получим значения, отношение которых равно π, в соответствии с евклидовостью геометрии в инерциальной системе отсчета. Пусть теперь измерение производится неподвижным относительно K' масштабом. Наблюдая за этим процессом из системы K, мы найдем, что масштаб, приложенный вдоль окружности, претерпевает лоренцево сокращение, а радиалыю приложенный масштаб не меняется. Ясно поэтому, что отношение длины окружности к ее диаметру, полученное в результате такого измерения, окажется больше π.

В общем случае произвольного переменного гравитационного поля метрика пространства не только неевклидова, но еще и меняется со временем. Это значит, что меняются со временем соотношения между различными геометрическими расстояниями. В результате взаимное расположение внесенных в поле «пробных частиц» ни в какой системе координат не может оставаться неизменным. Так, если частицы расположены вдоль какой-либо окружности и вдоль ее диаметра, то поскольку отношение длины окружности к длине диаметра не равно π и меняется со временем, ясно, что если расстояния частиц вдоль диаметра остаются неизменными, то должны изменяться расстояния вдоль окружности, и наоборот. Таким образом, в общей теории относительности, вообще говоря, невозможна взаимная неподвижность системы тел.

Это обстоятельство существенно меняет само понятие системы отсчета в общей теории относительности по сравнению с тем смыслом, который оно имело в специальной теории. В последней под системой отсчета понималась совокупность покоящихся друг относительно друга, неизменным образом взаимно расположенных тел. При наличии переменного гравитационного поля таких систем тел не существует и для точного определения положения частицы в пространстве необходимо, строго говоря, иметь совокупность бесконечного числа тел, заполняющих все пространство, наподобие некоторой «среды». Такая система тел вместе со связанными с каждым из них произвольным образом идущими часами и является системой отсчета в общей теории относительности.

В связи с произвольностью выбора системы отсчета законы природы должны записываться в общей теории относительности в виде, формально пригодном в любой четырехмерной системе координат (или, как говорят, в ковариантпном виде). Это обстоятельство, однако, разумеется не означает физической эквивалентности всех этих систем отсчета (подобной физической эквивалентности всех инерциальных систем отсчета в специальной теории). Напротив, конкретный вид физических явлений, в том числе свойства движения тел, во всех системах отсчета становится различным.