27 | 05 | 2022

Гравитационное поле в релятивистской механике

Основное свойство гравитационных полей,— что все тела движутся в них одинаковым образом,— остается в силе и в релятивистской механике. Остается, следовательно, и аналогия между гравитационными полями и неинерциальными системами отсчета. Поэтому естественно при изучении свойств гравитационных полей в релятивистской механике тоже исходить из этой аналогии.

В инерциальной системе отсчета в декартовой системе координат интервал ds определяется формулой

ds2 = c2dt2 − dx2 − dy2 − dz2.

При переходе к любой другой инерциальной системе отсчета (т. е. при преобразовании Лоренца) интервал, как мы знаем, сохраняет тот же самый вид. Однако если мы перейдем к неинерциальной системе отсчета, то ds2 уже не будет суммой квадратов дифференциалов четырех координат.

Так, при переходе к равномерно вращающейся системе координат

x = х'cosΩt − y'sinΩt,   у = х'sinΩt + y'cosΩt,   z = z'

(Ω — угловая скорость вращения, направленная вдоль оси z) интервал приобретает вид

ds2 = [с2 − Ω2 (x'2 + y'2)] dt2 − dx'2 − dy' 2dz' 2 + 2Ωy' dx' dt − 2Ωx' dy' dt.

По какому бы закону ни преобразовывалось время, это выражение не может быть приведено к сумме квадратов дифференциалов четырех координат.

Таким образом, в неинерциальной системе отсчета квадрат интервала является некоторой квадратичной формой общего вида от дифференциалов координат, т. е. имеет вид

ds2 = gik dxi dxk,                                                            (82.1)

где gik — некоторые функции пространственных координат x1, x2, x3 и временной координаты x0. Четырехмерная система координат x0x1, x2, x3 является, таким образом, при пользовании неинерциальными системами отсчета криволинейной. Величины gik, определяя все свойства геометрии в каждой данной криволинейной системе координат, устанавливают, как говорят, метрику пространства-времени.

Величины gik можно, очевидно, всегда считать симметричными по индексам i и k (gik=gki), поскольку они определяются из симметричной формы (82.1), куда gik и gki входят помноженными на одно и то же произведение dxidxk. В общем случае имеется, следовательно, всего 10 различных величин gikчетыре с одинаковыми и 4•3/2=6 с различными индексами. В инерциальной системе отсчета при пользовании декартовыми пространственными координатами x1,2,3=x,y,z и временем x0=ct величины gik равны

g00 = l,   g11 = g22 = g33 = −1,   gik = 0 при i = k.              (82.2)

Систему координат (четырехмерную) с этими значениями gik мы будем называть галилеевой.

В предыдущем параграфе было показано, что неинерциальные системы отсчета эквивалентны некоторым силовым полям. Мы видим теперь, что в релятивистской механике эти поля определяются величинами gik.

То же самое относится и к «истинным» гравитационным полям. Всякое гравитационное поле является не чем иным, как изменением метрики пространства-времени, соответственно чему оно определяется величинами gik. Это важнейшее обстоятельство означает, что геометрические свойства пространствавремени (его метрика) определяются физическими явлениями, а не являются неизменными свойствами пространства и времени.

Теория гравитационных полей, построенная на основе теории относительности, носит название общей теории относительности. Она была создана Эйнштейном (и окончательно сформулирована им в 1915 г.) и является, пожалуй, самой красивой из существующих физических теорий. Замечательно, что она была построена Эйнштейном чисто дедуктивным путем и лишь в дальнейшем была подтверждена астрономическими наблюдениями.

Как и в нерелятивистской механике, между «истинными» гравитационными полями и полями, которым эквивалентны неинерциальные системы отсчета, имеется коренное отличие. При переходе к неинерциальной системе отсчета квадратичная форма имеет вид (82.1), т.е. величины gik получаются из их галилеевых значений (82.2) преобразованием координат, а потому обратным преобразованием могут быть снова приведены во всем пространстве к галилеевым значениям. То, что такой вид gik является весьма специальным, видно уже из того, что преобразованием всего лишь четырех координат нельзя, в общем случае, привести десять величин gik к наперед заданному виду.