27 | 06 | 2022

Гравитационное поле в нерелятивистской механике

Гравитационные поля (или поля тяготения) обладают следующим основным свойством: все тела вне зависимости от их массы движутся в них (при заданных начальных условиях) одинаковым образом.

Например, законы свободного падения в поле тяготения земли одинаковы для всех тел, какой бы массой они ни обладали, — все они приобретают одно и то же ускорение.

Подробнее: Гравитационное поле в нерелятивистской механике

Гравитационное поле в релятивистской механике

Основное свойство гравитационных полей,— что все тела движутся в них одинаковым образом,— остается в силе и в релятивистской механике. Остается, следовательно, и аналогия между гравитационными полями и неинерциальными системами отсчета. Поэтому естественно при изучении свойств гравитационных полей в релятивистской механике тоже исходить из этой аналогии.

Подробнее: Гравитационное поле в релятивистской механике

Криволинейные координаты

Поскольку при изучении гравитационных полей приходится рассматривать явления в произвольных системах отсчета, то возникает необходимость развить четырехмерную геометрию в форме, пригодной в произвольных координатах.

Подробнее: Криволинейные координаты

Расстояния и промежутки времени

Мы уже говорили, что в общей теории относительности выбор системы отсчета ничем не ограничен; тремя пространственными координатами x1, x2, x3 могут являться любые величины, определяющие расположение тел в пространстве, а временная координата x0 может определяться произвольно идущими часами. Возникает вопрос о том, каким образом по значениям величин x0x1, x2, x3 можно определить истинные расстояния и промежутки времени.

Подробнее: Расстояния и промежутки времени

Ковариантное дифференцирование

В галилеевых координатах дифференциалы dAi вектора Ai образуют вектор, а производные ∂Ai/xk от компонент вектора по координатам образуют тензор. В криволинейных же координатах это не имеет места; dAi не есть вектор, а ∂Ai/xk не есть тензор. Это связано с тем, что dAi есть разность векторов, находящихся в разных (бесконечно близких) точках пространства; в разных же точках пространства векторы преобразуются различно, так как коэффициенты в формулах преобразования (83.2), (83.4) являются функциями координат.

Подробнее: Ковариантное дифференцирование

Связь символов Кристоффеля с метрическим тензором

Докажем, что ковариантная производная от метрического тензора gik равна нулю. Для этого заметим, что для вектора DAi как и для всякого вектора, должно иметь место соотношение

DAi = gikDAk.

Подробнее: Связь символов Кристоффеля с метрическим тензором

Движение частицы в гравитационном поле

Движение свободной материальной частицы в специальной теории относительности определяется принципом наименьшего действия:

δS = − mcδ ds = 0,                          (87.1)

согласно которому частица движется так, что ее мировая линия является экстремальной между двумя заданными мировыми точками, т.е. в данном случае прямой (в обычном трехмерном пространстве этому соответствует прямолинейное равномерное движение).

Подробнее: Движение частицы в гравитационном поле

Постоянное гравитационное поле

Гравитационное поле называют постоянным, если можно выбрать такую систему отсчета, в которой все компоненты метрического тензора не зависят от временной координаты x0; последнюю называют в таком случае мировым временем.

Подробнее: Постоянное гравитационное поле

Вращение

Особым случаем стационарных гравитационных полей является поле, возникающее при переходе к равномерно вращающейся системе отсчета.

Подробнее: Вращение

Уравнения электродинамики при наличии гравитационного поля

Уравнения электромагнитного поля специальной теории относительности легко обобщить так, чтобы они были применимы в любой четырехмерной криволинейной системе координат, т. е. в случае наличия гравитационного поля.

Подробнее: Уравнения электродинамики при наличии гравитационного поля