20 | 11 | 2017

Инварианты поля

Исключением является случай, когда оба инварианта равны нулю. В этом случае E и H во всех системах отсчета равны по величине и взаимно перпендикулярны по направлению.

Если лишь EH=0, то можно найти такую систему отсчета, в которой E=0 или H=0 (смотря по тому E2H2< или >0), т.е. поле чисто магнитное или чисто электрическое; наоборот, если в какой-нибудь системе отсчета E=0 или H=0, то во всякой другой системе они будут взаимно перпендикулярны в соответствии со сказанным в конце предыдущего параграфа.

Изложим еще и другой способ подхода к вопросу об инвариантах антисимметричного 4-гензора. Этот способ делает очевидным единственность двух независимых инвариантов (25.3), (25.4) и в то же время выявляет некоторые поучительные математические свойства преобразований Лоренца в применении к 4-тензору.

Рассмотрим комплексный вектор

F = E + iH.                                   (25.5)

Используя формулы (24.2), (24.3), легко видеть, что преобразование Лоренца (вдоль оси x) для этого вектора имеет вид

Fx = F'x,  Fy = F'y chφ − iF'z shφ = F'y cos − F'z sin FzF'z cosF'y sin,  thφ = .         (25.6)

Мы видим, что вращение в плоскости xt 4-пространства (каковым и является рассматриваемое преобразование Лоренца) для вектора F эквивалентно вращению на мнимый угол в плоскости yz трехмерного пространства. Совокупность же всех возможных поворотов в 4-пространстве (включающая в себя также и простые повороты осей x, y, z) эквивалентна совокупности всех возможных поворотов на комплексные углы в трехмерном пространстве (шести углам поворота в 4-пространстве соответствуют три комплексных угла поворота трехмерной системы).

Единственным инвариантом вектора по отношению к поворотам является его квадрат F2=E2H2+2iEH. Поэтому вещественные величины E2H2 и EH являются единственными инвариантами тензора Fik.

Если F2≠0, то вектор F можно представить в виде F=an, где n — единичный (n2=1) комплексный вектор. Путем надлежащего комплексного поворота можно направить n вдоль одной из координатных осей; при этом, очевидно, n станет вещественным и тем самым определит направления обоих векторов E и H: F=(E+iH)n. Другими словами, векторы E и H станут параллельными друг другу.