24 | 09 | 2017

Тензор электромагнитного поля

Тогда полученное уравнение напишется в виде

mc  Fikuk.                        (23.4)

Это — уравнение движения заряда в четырехмерной форме.

Смысл отдельных компонент тензора Fik легко выяснить, подставив значения Ai=(φ, −A) в определение (23.3). Результат можно записать в виде таблицы, в которой индекс i=0,1,2,3 нумерует строки, а индекс k — столбцы:

Fik = Fik   (23.5)

Короче, можно написать:

Fik = (E,H),  Fik = (−E,H).

Таким образом, компоненты напряженностей электрического и магнитного полей являются компонентами одного 4-тензора электромагнитного поля.

Переходя к трехмерным обозначениям, легко убедиться в том, что три пространственные компоненты (i=1,2,3) уравнения (23.4) тождественны с векторным уравнением движения (17.5), а временная компонента (i=0) — с уравнением работы (17.7). Последнее есть следствие уравнения движения; тот факт, что из четырех уравнений (23.4) только три независимы, можно легко обнаружить также и непосредственно, умножив обе части (23.4) на ui. Тогда левая часть равенства обратится в нуль ввиду ортогональности 4-векторов ui и dui/ds, а правая часть — ввиду антисимметричности тензора Fik.

Если рассматривать в вариации δS только истинные траектории, то первый член в (23.2) тождественно обратится в нуль. Тогда второй член, в котором верхний предел рассматривается как переменный, дает дифференциал действия как функции координат. Таким образом,

δS = −(mcui + Ai) δxi .                              (23.6)

Отсюда

= mcui+ Ai = pi + Ai.                   (23.7)

Четырехмерный вектор −∂S/∂xi есть 4-вектор обобщенного импульса частицы Pi. Подставляя значения компонент pi и Ai, найдем, что

Pi,p + A.                          (23.8)

Как и следовало, пространственные компоненты 4-вектора Pi образуют трехмерный вектор обобщенного импульса (16.5), а временная компонента есть /c, где  — полная энергия заряда в поле.