18 | 11 | 2017

Тензор электромагнитного поля

Мы вывели уравнения движения заряда в поле, исходя из функции Лагранжа (16.4), написанной в трехмерном виде. Выведем теперь те же уравнения непосредственно из действия (16.1), написанного в четырехмерных обозначениях.

Принцип наименьшего действия гласит

δSδ(−mcds − Aidxi) = 0.                 (23.1)

Замечая, что ds=, находим (пределы интегрирования a и b мы будем ниже для краткости опускать):

δS = −(mc Aidδxi + δAidxi) = 0.

Первые два члена в подынтегральном выражении проинтегрируем по частям. Кроме того, в первом члене введем 4-скорость dxi/ds=ui. Тогда

(mcduiδxi δxidAi − δAidxi) − (mcui + Ai) δxi = 0.       (23.2)

Второй член этого равенства равен нулю, так как интеграл варьируется при заданных значениях координат на пределах. Далее,

δAi δxkdAi dxk,

и поэтому

(mcduiδxi  δxidxk dxiδxk) = 0.

Напишем в первом члене dui=ds, во втором и третьем dxi=uids. Кроме того, в третьем члене поменяем местами индексы i и к (это ничего не изменит, так как по значкам i и k производится
суммирование). Тогда

mc ukδxids = 0.

Ввиду произвольности δxi отсюда следует, что подынтегральное выражение равно нулю:

mc  − uk = 0.

Введем обозначение

Fik = ;                         (23.3)

этот антисимметричный тензор называется тензором электромагнитного поля.