24 | 09 | 2017

Движение в постоянном однородном магнитном поле

Рассмотрим теперь движение заряда e в однородном магнитном поле H. Направление поля выберем за ось z. Уравнения движения

 = [vH]

мы перепишем в другом виде, подставив вместо импульса

p = ,

где  — энергия частицы, которая в магнитном поле постоянна.

Уравнения движения приобретают тогда вид

  [vH],                                  (21.1)

или, в компонентах,

x = ωνyy = −ωνxz = 0,                  (21.2)

где мы ввели обозначение

ω.                                    (21.3)

Умножим второе из уравнений (21.2) на г и сложим с первым:

(vx + ivy) = (νx + ivy),

откуда

vx + ivy = ae−iωt,

где a — комплексная постоянная. Ее можно написать в виде a=v0te−iα, где v0t и α вещественны. Тогда

vx + ivy = v0te−i(ωt+α),

и, отделяя действительную и мнимую части, находим

vx = v0t cos (ωt + α),  vy = −v0t sin (ωt + α).         (21.4)

Постоянные v0t и α определяются начальными условиями, α есть
начальная фаза; что же касается v0t, то из (21.4) видно, что

v0t = ,

т.е. v0t есть скорость частицы в плоскости ху, остающаяся при движении постоянной.

Из (21.4) находим, интегрируя еще раз:

хх0 + r sin (ωt + α),  y = y0 + r cos (ωt + α),           (21.5)

где

r                                                 (21.6)

(pt — проекция импульса на плоскость xy). Из третьего уравнения (21.2) находим: vzv0z и

z = z0 + v0zt.                                                             (21.7)