24 | 09 | 2017

Движение в постоянном однородном электрическом поле

Рассмотрим движение заряда е в однородном постоянном электрическом поле E. Направление поля примем за ось x. Движение будет, очевидно, происходить в одной плоскости, которую выберем за плоскость xy.

Тогда уравнения движения (17.5) примут вид

x = eEy = 0

(точка над буквой обозначает дифференцирование по t), откуда

px = eEtpy = p0.                      (20.1)

Начало отсчета времени мы выбрали в тот момент, когда px= 0; p0 есть импульс частицы в этот момент.

Кинетическая энергия частицы (энергия без потенциальной энергии в поле) равна кин=c. Подставляя сюда (20.1), находим в нашем случае

кин = = ,            (20.2)

где 0 – энергия при t=0.

Согласно (9.8) скорость частицы v=pc2кин. Для скорости x= имеем, следовательно,

= .

Интегрируя, находим

x                      (20.3)

(постоянную интегрирования полагаем равной нулю).

Для определения у имеем

,

откуда

y Arsh .                           (20.4)

Уравнение траектории находим, выражая из (20.4) t через y и подставляя в (20.3). Это дает

x ch .                               (20.5)

Таким образом, заряд движется в однородном электрическом поле по цепной линии.

Если скорость частицы <<c, то можно положить p0=m0, 0=mc2; разлагая (20.5) по степеням 1/c, получим, с точностью до членов высшего порядка:

x = + const,

т. е. заряд движется по параболе, — результат, хорошо известный из классической механики.