18 | 11 | 2017

Калибровочная инвариантность

Рассмотрим теперь вопрос о том, насколько однозначно определены потенциалы поля. При этом следует учесть, что поле характеризуется тем действием, которое оно оказывает на движение находящихся в нем зарядов. Но в уравнения движения (17.5) входят не потенциалы, а напряженности поля E и H. Поэтому два поля физически тождественны, если они характеризуются одними и теми же векторами E и H.

Если заданы потенциалы A и φ то этим, согласно (17.3) и (17.4), вполне однозначно определены E и H. а значит и поле. Однако одному и тому же полю могут соответствовать различные потенциалы. Чтобы убедиться в этом, прибавим к каждой компоненте потенциала Ak, величину —∂f/∂xk, где fпроизвольная функция от координат и времени. Тогда потенциал Ak переходит в

A'k = Ak.                                 (18.1)

При такой замене в интеграле действия (16.1) появится дополнительный член, представляющий собой полный дифференциал:

dxk = f,                            (18.2)

что не влияет на уравнения движения.

Если вместо четырехмерного потенциала ввести векторный и скалярный и вместо координат xi — координаты ct, x, y, z, то четыре равенства (18.1) можно написать в виде

A' = A + grad f,   φ'φ −  .                   (18.3)

Легко убедиться в том, что электрическое и магнитное поля, определенные равенствами (17.3), (17.4), действительно не изменяются при подстановке вместо A и φ потенциалов A' и φ', определенных согласно (18.3). Таким образом, преобразование потенциалов (18.1) не изменяет поля. Потенциалы определены поэтому не однозначно — векторный потенциал определен с точностью до градиента произвольной функции и скалярный — с точностью до производной по времени от той же функции.

В частности, к векторному потенциалу можно прибавить любой постоянный вектор, а к скалярному потенциалу — любую постоянную. Это видно и непосредственно из того, что в определение E и H входят только производные от A и φ, и потому прибавление к последним постоянных не влияет на напряженности поля.

Физический смысл имеют лишь те величины, которые инвариантны по отношению к преобразованию потенциалов (18.3); поэтому все уравнения должны быть инвариантны по отношению к этому преобразованию. Эту инвариантность называют калибровочной или градиентной (по-немецки ее называют Eichinvarianz, по-английски — gauge invariance).

Описанная неоднозначность потенциалов дает всегда возможность выбрать их так, чтобы они удовлетворяли одному произвольному дополнительному условию, — одному, так как мы можем произвольно выбрать одну функцию f в (18.3). В частности, всегда можно выбрать потенциалы поля так, чтобы скалярный потенциал φ был равен нулю. Сделать же векторный потенциал равным нулю, вообще говоря, невозможно, так как условие A=0 представляет собой три дополнительных условия (для трех компонент A).