20 | 11 | 2017

Уравнения движения заряда в поле

Отметим, что E представляет собой полярный, а H — аксиальный вектор.

Уравнения движения заряда в электромагнитном поле можно теперь написать в виде

 = eE + [vH].                                    (17.5)

Стоящее справа выражение носит название лоренцевой силы. Первая ее часть — сила, с которой действует электрическое поле на заряд, — не зависит от скорости заряда и ориентирована по направлению поля E. Вторая часть—сила, оказываемая магнитным полем на заряд, — пропорциональна скорости заряда и направлена перпендикулярно к этой скорости и к направлению магнитного поля H.

Для скоростей, малых по сравнению со скоростью света, импульс p приближенно равен своему классическому выражению mv, и уравнение движения (17.5) переходит в

m = eE [vH].                               (17.6)

Выведем еще уравнение, определяющее изменение кинетической энергии частицы со временем, т.е. производную

=  .

Легко убедиться, что

= ;

подставляя dp/dt из (17.5) и замечая, что [vH]v=0, имеем

eEv.                                    (17.7)

Изменение кинетической энергии со временем есть работа, произведенная полем над частицей (в единицу времени). Из (17.7)
видно, что эта работа равна произведению скорости заряда на силу, с которой действует на него электрическое поле. Работа поля за время dt, т.е. при перемещении заряда на dr, равна eEdr.

Подчеркнем, что работу над зарядом производит только электрическое поле; магнитное поле не производит работы над движущимся в нем зарядом. Последнее связано с тем, что сила, с которой магнитное поле действует на частицу, всегда перпендикулярна к ее скорости.

Уравнения механики инвариантны по отношению к перемене знака у времени, т. е. по отношению к замене будущего прошедшим. Другими словами, в механике оба направления времени эквивалентны. Это значит, что если согласно уравнениям механики возможно какое-нибудь движение, то возможно и обратное движение, при котором система проходит те же состояния в обратном порядке.

Легко видеть, что то же самое имеет место и в электромагнитном поле в теории относительности. При этом, однако, вместе с заменой t на −t надо изменить знак магнитного поля. Действительно, легко видеть, что уравнения движения (17.5) не меняются, если произвести замену

t → −t, E → E, H → −H.                           (17.8)

При этом, согласно (17.3), (17.4), скалярный потенциал не меняется, а векторный меняет знак:

φφ, A → −A.                                       (17.9)

Таким образом, если в электромагнитном поле возможно некоторое движение, то возможно и обратное движение в поле с обратным направлением H.