24 | 09 | 2017

Уравнения движения заряда в поле

Заряд, находящийся в поле, не только подвергается воздействию со стороны поля, но в свою очередь сам влияет на поле, изменяя его. Однако если заряд е не велик, то его действием на поле можно пренебречь. В этом случае, рассматривая движение в заданном поле, можно считать, что само поле не зависит ни от координат, ни от скорости заряда. Точные условия, которым должен удовлетворять заряд для того, чтобы он мог считаться в указанном смысле малым, будут выяснены в дальнейшем. Ниже мы будем считать это условие выполненным.

Итак, нам надо найти уравнения движения заряда в заданном электромагнитном поле. Эти уравнения получаются варьированием действия, т. е. даются уравнениями Лагранжа

 ,                           (17.1)

где L определяется формулой (16.4).

Производная ∂L/∂v есть обобщенный импульс частицы (16.5). Далее имеем

= L grad Av - e grad φ.

Но по известной формуле векторного анализа

grad ab = (a)b + (b)a + [b rot a] + [a rot b],

где a и b — любые два вектора. Применяя эту формулу к Av и помня, что дифференцирование по r производится при постоянном v, находим

= (v)A + [v rot A] − e grad φ.

Уравнения Лагранжа, следовательно, имеют вид

(p A) = (v)A + [v rot A− e grad φ.

Но полный дифференциал (dA/dt)dt складывается из двух частей: из изменения (A/∂t)dt векторного потенциала со временем в данной точке пространства и из изменения при переходе от одной точки пространства к другой на расстояние dr. Эта вторая часть равна (dr)A. Таким образом,

+ (v)A.

Подставляя это в предыдущее уравнение, получаем

 = −   − e grad φ + [v rot A].           (17.2)

Это и есть уравнение движения частицы в электромагнитном поле. Слева стоит производная от импульса частицы по времени. Следовательно, выражение в правой части (17.2) есть сила, действующая на заряд в электромагнитном поле. Мы видим, что эта сила состоит из двух частей. Первая часть (первый и второй члены в правой части (17.2)) не зависит от скорости частицы. Вторая часть (третий член) зависит от этой скорости: пропорциональна величине скорости и перпендикулярна к ней.

Силу первого рода, отнесенную к заряду, равному единице, называют напряженностью электрического поля; обозначим ее через E. Итак, по определению,

E = −   gradφ.                          (17.3)

Множитель при скорости, точнее при v/c, в силе второго рода, действующей на единичный заряд, называют напряженностью магнитного поля; обозначим ее через H. Итак, по определению,

H = rot A.                                      (17.4)

Если в электромагнитном поле E≠0, а H=0, то говорят об электрическом поле; если же E=0, а H≠0, то поле называют магнитным. В общем случае электромагнитное поле является наложением полей электрического и магнитного.