24 | 09 | 2017

Четырехмерный потенциал поля

Из функции Лагранжа можно найти функцию Гамильтона частицы в поле по известной общей формуле

= v L.

Подставляя сюда (16.4), найдем

 =  + .                                       (16.6)

Функция Гамильтона, однако, должна быть выражена не через скорость, а через обобщенный импульс частицы.

Из (16.5), (16.6) видно, что соотношение между  и P−A — такое же, как между  и p в отсутствие поля, т.е.

= m2c2 + P − A,                      (16.7)

или иначе:

 = + .                 (16.8)

Для малых скоростей, т. е. в классической механике, функция Лагранжа (16.4) переходит в

L = + Av.                             (16.9)

В этом приближении

p = mv = P − A,

и мы находим следующее выражение для функции Гамильтона:

 = P − A + .                          (16.10)

Наконец, выпишем уравнение Гамильтона-Якоби для частицы в электромагнитном поле. Оно получается заменой в функции Гамильтона обобщенного импульса P на ∂S/r, а самого  —на, −∂S/∂t. Таким образом, получим из (16.7)

grad SA + m2c2 = 0.                    (16.11)