24 | 09 | 2017

Четырехмерный потенциал поля

Действие для частицы, движущейся в заданном электромагнитном поле, складывается из двух частей: из действия (8.1) свободной частицы и из члена, описывающего взаимодействие частицы с полем. Последний должен содержать как величины, характеризующие частицу, так и величины, характеризующие поле.

Оказывается, что свойства частицы в отношении ее взаимодействия с электромагнитным полем определяются всего одним параметром — так называемым зарядом частицы e, который может быть как положительной, так и отрицательной (или равной нулю) величиной. Свойства же поля характеризуются 4-вектором Аi, так называемым 4-потенциалом, компоненты которого являются функциями координат и времени. Эти величины входят в действие в виде члена

Aidxi,

где функции Ai берутся в точках мировой линии частицы. Множитель 1/c введен здесь для удобства. Следует отметить, что до тех пор, пока у нас нет никаких формул, связывающих заряд или потенциалы с известными уже величинами, единицы для их измерения могут быть выбраны произвольным образом.

Таким образом, действие для заряда в электромагнитном поле имеет вид

S = (− mc ds − Aidxi).                      (16.1)

Три пространственные компоненты 4-вектора Ai образуют трехмерный вектор A, называемый векторным потенциалом поля. Временную же компоненту называют скалярным потенциалом; обозначим ее как A0=φ Таким образом,

Ai = (φ, A).                                         (16.2)

Поэтому интеграл действия можно написать в виде

S = (− mc ds + A dreφ dt),

или, вводя скорость частицы v=dr/dt и переходя к интегрированию по времени, в виде

S(− mc2 + Av) dt.                         (16.3)

Подынтегральное выражение есть функция Лагранжа для заряда в электромагнитном поле:

L = mc2 + Av.                          (16.4)

Это выражение отличается от функции Лагранжа (8.2) для свободной частицы членами Av, которые описывают взаимодействие заряда с полем.

Производная ∂L/v есть обобщенный импульс частицы; обозначим его буквой P. Производя дифференцирование, находим

Р = A = p + A.                           (16.5)

Здесь мы обозначили буквой p обычный импульс частицы, который мы и будем называть просто импульсом.