24 | 09 | 2017

Импульс

Другой закон сохранения возникает в связи с однородностью пространства.

В силу этой однородности механические свойства замкнутой системы не меняются при любом параллельном переносе системы как целого в пространстве. В соответствии с этим рассмотрим бесконечно малый перенос на отрезок ε и потребуем, чтобы функция Лагранжа осталась неизменной.

Параллельный перенос означает преобразование, при котором все точки системы смещаются на один и тот же постоянный вектор ε, т.е. их радиус-векторы гαгα+ε. Изменение функции L в результате бесконечно малого изменения координат при неизменных скоростях частиц есть

δL = δrα = ε,

где суммирование производится по всем материальным точкам системы. Ввиду произвольности ε требование δL = 0 эквивалентно требованию


= 0.                           (7.1)

В силу уравнений Лагранжа (5.2) получаем отсюда

= = 0.

Таким образом, мы приходим к выводу, что в замкнутой механической системе векторная величина

Р =                     (7.2)

остается неизменной при движении. Вектор Р называется импульсом системы. Дифференцируя функцию Лагранжа (5.1), найдем, что импульс следующим образом выражается через скорости точек:

Р = mα vα.                  (7.3)

Аддитивность импульса очевидна. Более того, в отличие от энергии импульс системы равен сумме импульсов

pαmα vα

отдельных частиц вне зависимости от возможности пренебрежения взаимодействием между ними.

Закон сохранения всех трех компонент вектора импульса имеет место лишь в отсутствие внешнего поля. Однако отдельные компоненты импульса могут сохраняться и при наличии поля, если потенциальная энергия в нем не зависит от какойлибо из декартовых координат. При переносе вдоль соответствующей координатной оси механические свойства системы, очевидно, не меняются, и тем же способом мы найдем, что проекция импульса на эту ось сохраняется. Так, в однородном поле, направленном вдоль оси г, сохраняются компоненты импульса вдоль осей х и у.

Исходное равенство (7.1) имеет простой физический смысл. Производная ∂L/∂rα = −∂U/∂rα есть сила Fα, действующая на α-ю частицу. Таким образом, равенство (7.1) означает, что сумма сил, действующих на все частицы замкнутой системы, равна нулю:

Fα = 0.                       (7.4)

В частности, в случае системы, состоящей всего из двух материальных точек, F1 + F2 = 0: сила, действующая на первую частицу со стороны второй, равна по величине, но противоположна по направлению силе, действующей на вторую частицу со стороны первой. Это утверждение известно под названием закона равенства действия и противодействия.

Если движение описывается обобщенными координатами то производные лагранжевой функции по обобщенным скоростям

pi =                           (7.5)

называются обобщенными импульсами, а производные

Fi =                            (7.6)

называются обобщенными силами. В этих обозначениях уравнения Лагранжа имеют вид

i = Fi .                             (7.7)

В декартовых координатах обобщенные импульсы совпадают с компонентами векторов рα. В общем же случае величины pi являются линейными однородными функциями обобщенных скоростей qi, отнюдь не сводящимися к произведениям массы на скорость.