24 | 09 | 2017

Механическое подобие

Поскольку кинетическая энергия Т является квадратичной функцией скоростей, то по теореме Эйлера об однородных функциях

vα = 2Т,

или, вводя импульсы ∂Т/∂vα = рα, получаем

2Т = рα vα = ( рα vα) − рα α.                 (10.4)

Усредним это равенство по времени. Средним значением какой-либо функции времени ƒ(t) называется величина

= ƒ(t)dt.

Легко видеть, что если ƒ(t) является производной по времени ƒ(t) = dF(t)/dt от ограниченной (т.е. не принимающей бесконечных значений) функции F(t), то ее среднее значение обращается в нуль. Действительно,

= dt = 0.

Предположим, что система совершает движение в конечной области пространства и со скоростями, не обращающимися в бесконечность. Тогда величина ∑rαpα ограничена, и среднее значение первого члена в правой части равенства (10.4) обращается в нуль. Во втором же заменяем ра, согласно уравнениям Ньютона, на −∂U/∂rα и получаем

2                               (10.5)

Если потенциальная энергия является однородной функцией k-й степени от всех радиус-векторов ra, то, согласно теореме Эйлера, равенство (10.5) переходит в искомое соотношение

2 = k .                                       (10.6)

Поскольку +==Е, соотношение (10.6) можно представить в эквивалентных формах

= E,    E               (10.7)

выражающих и через полную энергию системы.

В частности, для малых колебаний (k = 2) имеем

,

т.е. средние значения кинетической и потенциальной энергий совпадают. Для ньютоновского взаимодействия (k = −1)

2 = −.

При этом Е = − в соответствии с тем, что при таком взаимодействии движение происходит в конечной области пространства лишь при отрицательной полной энергии.