24 | 09 | 2017

Механическое подобие

Умножение функции Лагранжа на любой постоянный множитель очевидным образом не меняет уравнений движения. Это обстоятельство дает возможность в ряде важных случаев сделать некоторые существенные заключения о свойствах движения, не производя конкретного интегрирования уравнений движения.

Сюда относятся случаи, когда потенциальная энергия является однородной функцией координат, т.е. функцией, удовлетворяющей условию

U (r1, r2, ..., rn) = kU (r1, r2, ..., rn),               (10.1)

где  — любая постоянная, а число k — степень однородности функции.

Произведем преобразование, при котором наряду с изменением всех координат в  раз одновременно изменяется (в β раз) время:

гα → rα, t → βt.

Все скорости vα = drα/dt изменяются при этом в /β раз, а кинетическая энергия — в 22 раз. Потенциальная же энергия умножается на k. Если связать и β условием

= k, т.е. β =  1−k⁄2 ,

то в результате такого преобразования функция Лагранжа целиком умножится на постоянный множитель k, т.е. уравнения движения останутся неизменными.

Изменение всех координат частиц в одинаковое число раз означает переход от одних траекторий к другим, геометрически подобным первым и отличающимся от них лишь своими линейными размерами. Таким образом, мы приходим к заключению, что если потенциальная энергия системы является однородной функцией k-й степени от координат (декартовых), то уравнения движения допускают геометрически подобные траектории, причем все времена движения (между соответственными точками траекторий) относятся, как

= ( )1−k⁄2 ,                                 (10.2)

где  — отношение линейных размеров двух траекторий. Вместе с временами определенными степенями отношения  являются также значения любых механических величин в соответственных точках траекторий в соответственные моменты времени. Так, для скоростей, энергии и момента имеем

= ( )k⁄2,   = ( )k ,   = ( )1−k⁄2 .     (10.3)

Приведем для иллюстрации несколько примеров.

Как мы увидим далее, в случае так называемых малых колебаний потенциальная энергия является квадратичной функцией координат (k = 2). Из (10.2) находим, что период таких колебаний не зависит от их амплитуды.

В однородном силовом поле потенциальная энергия — линейная функция координат, т.е. к = 1. Из (10.2) имеем

= .

Отсюда следует, например, что при падении в поле тяжести квадраты времен падения тел относятся, как их начальные высоты.

При ньютоновском притяжении двух масс или кулоновском взаимодействии двух зарядов потенциальная энергия обратно пропорциональна расстоянию между частицами, т.е. является однородной функцией степени k = −1. В этих случаях

= ( )3⁄2 ,

и мы можем утверждать, например, что квадраты времен обращения по орбитам пропорциональны кубам их размеров (так называемый третий закон Кеплера).

Если движение системы, потенциальная энергия которой является однородной функцией координат, происходит в ограниченной области пространства, то существует весьма простое соотношение между средними по времени значениями кинетической и потенциальной энергии; это соотношение известно под названием вириальной теоремы.