20 | 11 | 2017

Момент импульса

Этим исчерпываются аддитивные интегралы движения. Таким образом, всякая замкнутая система имеет всего семь таких интегралов: энергия и по три компоненты векторов импульса и момента.

Поскольку в определение момента входят радиус-векторы частиц, то его значение, вообще говоря, зависит от выбора начала координат. Радиус-векторы гα и гα’ одной и той же точки по отношению к началам координат, смещенным на вектор а, связаны соотношением гα = гα’ + а. Поэтому имеем

M = [гα рα] = [гαрα] + [aрα],

или

М = М' + [аР].                                    (9.4)

Из этой формулы видно, что только в том случае, когда система как целое покоится (т.е. Р = 0), ее момент не зависит от выбора начала координат. На законе сохранения момента эта неопределенность его значения, разумеется, не сказывается, так как у замкнутой системы импульс тоже сохраняется.

Выведем также формулу, связывающую значения момента импульса в двух различных инерциальных системах отсчета К и К', из которых вторая движется относительно первой со скоростью V. Будем считать, что начала координат в системах К и К' в данный момент времени совпадают. Тогда радиус-векторы частиц в обеих системах одинаковы, скорости же связаны выражением vα = vα’ + V. Поэтому имеем

M = mα[гα vα] = mα[гα vα’] + mα[гα V].

Первая сумма в правой части равенства есть момент М' в системе К'; введя во вторую сумму радиус-вектор центра инерции, согласно (8.3), получаем

М = М' + μ[RV].                                      (9.5)

Эта формула определяет закон преобразования момента импульса при переходе от одной системы отсчета к другой, подобно тому, как для импульса и энергии аналогичные законы даются формулами (8.1) и (8.5).

Если система отсчета К' есть та, в которой данная механическая система покоится как целое, то V есть скорость центра инерции последней, а μV — ее полный импульс Р (относительно К).

Тогда

М = М' + [RP].                                      (9.6)

Другими словами, момент импульса М механической системы складывается из ее «собственного момента» относительно системы отсчета, в которой она покоится, и момента [RP], связанного с ее движением как целого.

Хотя закон сохранения всех трех компонент момента (относительно произвольного начала координат) имеет место только для замкнутой системы, в более ограниченном виде этот закон может иметь место и для систем, находящихся во внешнем поле. Из приведенного выше вывода очевидно, что всегда сохраняется проекция момента на такую ось, относительно которой данное поле симметрично, и потому механические свойства системы не меняются при любом повороте вокруг этой оси; при этом, конечно, момент должен быть определен относительно какой-нибудь точки (начала координат), лежащей на этой же оси.

Наиболее важным случаем такого рода является поле с центральной симметрией, т.е. поле, в котором потенциальная энергия зависит только от расстояния до некоторой определенной точки (центра) в пространстве. Очевидно, что при движении в таком поле сохраняется проекция момента на любую ось, проходящую через центр. Другими словами, сохраняется вектор М момента, но определенного не относительно произвольной точки пространства, а относительно центра поля.

Другой пример: однородное поле вдоль оси z, в котором сохраняется проекция Mz момента, причем начало координат может быть выбрано произвольным образом.

Отметим, что проекция момента на какую-либо ось (назовем ее z) может быть найдена дифференцированием функции Лагранжа по формуле

Mz,                                           (9.7)

где координата φ есть угол поворота вокруг оси z. Это ясно уже из характера изложенного выше вывода закона сохранения момента, но в том же можно убедиться и прямым вычислением. В цилиндрических координатах r, φ, z имеем (подставляя хα = rαcosφα, yα = rα sin φа):

Mzmα(хαα − уαα) = mαrα2α    (9.8)

С другой стороны, функция Лагранжа в этих переменных имеет вид

L = mα(α + rα2α2 + α2) − U

и ее подстановка в формулу (9.7) приводит к тому же выражению (9.8).