24 | 09 | 2017

Момент импульса

Перейдем к выводу закона сохранения, возникновение которого связано с изотропией пространства.

Эта изотропия означает, что механические свойства замкнутой системы не меняются при любом повороте системы как целого в пространстве. В соответствии с этим рассмотрим бесконечно малый поворот системы и потребуем, чтобы ее функция Лагранжа при этом не изменилась.

Введем вектор δφ бесконечно малого поворота, абсолютная величина которого равна углу δφ поворота, а направление совпадает с осью поворота (причем так, что направление поворота отвечает правилу винта по отношению к направлению δφ).

Найдем, прежде всего, чему равно при таком повороте приращение радиус-вектора, проведенного из общего начала координат (расположенного на оси вращения) к какой-либо из материальных точек поворачиваемой системы. Линейное перемещение конца радиус-вектора связано с углом соотношением

r| = г sinΘ • δφ

(рис. 5). Направление же вектора перпендикулярно к плоскости, проходящей через г и δφ.

Рис. 5

Поэтому ясно, что

δr = [δφ • г].                                 (9.1)

При повороте системы меняется направление не только радиус-векторов, но и скоростей всех частиц, причем все векторы преобразуются по одинаковому закону. Поэтому приращение скорости относительно неподвижной системы координат

δv = [δφ • v].                                 (9.2)

Подставив эти выражения в условие неизменяемости функции Лагранжа при повороте

δL = (δrα + δvα) = 0

и заменив производные ∂L/∂vα = pα, ∂L/∂rα = α, получим

(α[δφ • гα] + рα[δφ • vα]) = 0,

или, производя циклическую перестановку множителей и вынося δφ за знак суммы, имеем

δφ([гα α] + [vα рα]) = δφ[гα рα] = 0.

Ввиду произвольности δφ отсюда следует, что

[гα рα] = 0,

т.е. мы приходим к выводу, что при движении замкнутой системы сохраняется векторная величина

M = [гα рα],                              (9.3)

называемая моментом импульса (или просто моментом) системы. Аддитивность этой величины очевидна, причем, как и у импульса, она не зависит от наличия или отсутствия взаимодействия между частицами.